квадрат

Квадрат (в геометрията) е правилен 4-ъгълник с равни страни и вътрешни ъгли.

В квадрат равни ъгли са вътрешните и съответните им връхни и съседни ъгли. Такова свойство има правоъгълник.

В квадрат може да се впише окръжност. Такова свойство имат също: делтоид, ромб и вид равнобедрен трапец.

Около квадрат може да се опише окръжност. Такова това свойство имат също: правоъгълен делтоид, правоъгълник, равнобедрен трапец

Произволен квадрат е бицентричен четириъгълник, центърът на вписаната окръжност, центърът на описаната окръжност и пресечната точка на диагоналите са конгруентни точки.

В квадрат диагоналът свързващ два срещулежащи върха е едновременно и ъглополовяща на ъглите с тези върхове. Подобно свойство има ромб. Само единия диагонал в делтоид е и ъглополовяща.

Квадратът е ортодиагонален четириъгълник - двата диагонала са взаимно перпендикулярни. Такова свойство имат също: делтоид и ромб. Вид трапец може също да бъде ортодиагонален четириъгълник.

Квадратът е четириъгълник с равни диагонали. Такова свойство имат: правоъгълник, равнобедрен трапец.

В квадрат двата диагонала взаимно се разполовяват от пресечната си точка. Такова свойство имат също: правоъгълник и ромб. В делтоид само единият диагонал може да бъде симетрала.

В квадрат всеки диагонал е ос на симетрия и го разделя на два еднакви равнобедрени правоъгълни триъгълника. Такова свойство имат: правоъгълник и ромб, в делтоид само единия диагонал е ос на симетрия.

В квадрат двойката диагонали го разделя на 4 еднакви равнобедрени правоъгълни триъгълника. В правоъгълник, ромб, успоредник, равнобедрен трапец се получават две двойки еднакви триъгълници.

В квадрат петите на двойките бимедиани и двойките maltitude са върхове на квадрат, във който диагоналите на референтния квадрат са симетрали към страните на построения квадрат.

В квадрат съответните бимедиани, maltitude и частта от симетралите отсечени от страните на квадрата са конгруентни и са ос на симетрия. Всяка от двойките разделя квадрата на два еднакви правоъгълника. Съответните две двойки разделят квадрата на 4 еднакви квадрата.

В квадрат елементи на множество конгруентни точки и център на симетрия са пресечната точка на: двойката симетрали, диагонали, ъглополовящи, бимедианите, maltitude, също и центъра на вписаната и описаната окръжност.

Формули за изчисляване елементи на квадрат със страна a:

периметър P = 4*a;

диагонал = a*√2;

дължина ма бимедиана и maltitude a - страната на референтния квадрат;

вписана окръжност радиус r = a/2;

описана окръжност радиус R = a*√2/2;

лице S = a².

Построителни задачи за квадрат:

построяване, с линия и пергел, на квадрат по дължина на страна

подалгоритъм - построяване на равнобедрен триъгълник

построява се отсечка с дължина >3 пъти страната на квадрата;

от двата края на отсечката се построяват дъги с равни радиуси;

свързват се двете пресечни точки на дъгите - построената отсечка е симетрала на референтната и двете са взаимно перпендикулярни (търсения прав ъгъл);

чрез пергел, с център пресечната точка на отсечка и симетрала и връх 1 на квадрата, се нанасят по двете перпендикулярни отсечки дъги, чийто радиус е дадената страна на квадрата - пресечните точки на дъгите и отсечките са върхове 2 и 3 на квадрата;

последователно със същия радиус и център в пресечната точка на дъгите и двете перпендикулярни отсечки се нанасят две дъги - тяхната пресечна точка е връх 4 на търсения квадрат;

с линия точки 1,2,3 и 4 се свързват с отсечки - страни на квадрата.

Програмирайте приложение генериращо нагледно доказателство, че средите на страните в квадрат са върхове на бицентричен четириъгълник.

От теорема на Вариньон (Varignons theorem): средите на страните на произволен четириъгълник са върхове на успоредник.

Отсечките свързващи средите на квадрат, отсичат от върховете му 4 еднакви равнобедрени правоъгълни триъгълника - еднаквост по 2 страни и сключения между тях прав ъгъл.

Сключеният ъгъл между произволни две съседни отсечки е 90⁰ - следствие от еднаквостта на правоъгълните триъгълници.

Четириъгълник с равни страни и равни вътрешни ъгли е квадрат. В квадрат може едновременно да се впише и опише окръжност.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: квадрат и правоъгълник, подобни квадрати.