вписани окръжности в триъгълник

Решени задачи на тема вписани окръжности в триъгълник ползващи различни формули за изчисляване на радиус. За произволен триъгълник съществуват 4 вписани окръжности:

Вписана окръжност допираща се до 3-те страни на триъгълник. Има за център пресечна точка на вътрешните ъглополовящи и дължина на радиус r:

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P

r = S/p;

както и

3 външно вписани окръжности, всяка от които:

се допира до страна на референтния триъгълник и продълженията на другите две страни на същия триъгълник;

има за център пресечната точка на 2-те ъглополовящи за външен ъгъл, съответстващ на прилежащ ъгъл на страната, допираща се до окръжността и на вътрешния ъгъл срещулежащ ма същата страна.

Дължина на радиус на външно вписана окръжност се изчислява като дължина на височина в триъгълник със страни: страна от референтния триъгълник и отсечки свързващи крайните точки на същата страна с центъра на външно вписаната окръжност. Приложеният алгоритъм е представен в разстояние между две точки.

Използвани формули за изчисляване радиуси на вписана, описана окръжност и външно вписани окръжности в триъгълник:

Ra = S/(p - a); Rb = S/(p - b); Rc = S/(p - c);

Ra = r + Rb + Rc - 4*R*cos(α); Rb = r + Ra + Rc - 4*R*cos(β); Rc = r + Ra + Rb - 4*R*cos(γ);

Ra + Rb + Rc + r = AH + BH + CH + 2*R само за остроъгълен/правоъгълен триъгълник

Ra + Rb + Rc + r = a + b + c - само за за правоъгълен триъгълник

r + R = R*(cos(α) + cos(β) + cos(γ))

Ra + Rb + Rc - r = a*b*c / S = 4*R

r + 4*R = Ra + Rb + Rc

r*Ra*Rb*Rc = S² 

Ra*Rb*Rc = p*S

Ra*Rb = p*(p-c)

r*Ra = (p-b)*(p-c)

p² = Ra*Rb + Rb*Rc + Rc*Ra

радиуси и дължини на страни: r*R = a*b*c / (4*p)

r² = (p-a)*(p-b)*(p-c)/p;

S = 2*sin(α)*sin(β)*sin(γ)*R²

r = 4*R*sin (α/2)*sin (β/2)*sin (γ/2)

p = 4*R*cos(α/2)*cos(β/2)*cos(γ/2)

r*R = a*b*c / (4*p)

Част от изброените формули за вписани окръжности в триъгълник се извеждат чрез тригонометрични функции и/или подмножество на изброените и служат като условие на задача за доказване на тъждество. Пример:

Докажете равенството за радиус на вписани окръжности и лице на триъгълник: Ra*Rb*Rc = p*S

r*Ra*Rb*Rc = r*p*S

r*Ra*Rb*Rc = S² - следва;

Докажете равенството за радиус на вписани окръжности и лице на триъгълник: r*Ra*Rb*Rc = S² 

Прилагат се формула за радиус на вписана окръжност и лице на триъгълник: r = S/p

(S/p)*(S/(p - a))*(S/(p - b))*(Rb = S/(p - b)) = S² 

замества се S² = p*(p - a)*(p - b)*(p - c) от формула на Херон;

S² * S² / S² = S²

S² = S²

Докажете равенството за радиус на описана и вписана окръжност и полупериметър на триъгълник: r*R = a*b*c / (4*p)

Прилагат се формули за радиуси на описана и вписана окръжност: S = a*b*c/(4*R) и S = p*r;

(S/p)*(a*b*c/(4*S) = a*b*c / (4*p)

a*b*c / (4*p) = a*b*c / (4*p)

Докажете равенството за радиус на описана окръжност и лице на триъгълник: S = 2*sin(α)*sin(β)*sin(γ)*R²

S = (2*sin(α)*R)*(2*sin(β)/(2*R))*sin(γ) - от синусова теорема

S = a*b*sin(γ)/2

S = S

Докажете равенството за радиус на вписана окръжност и дължини на страни: r² = (p-a)*(p-b)*(p-c)/p;

r² = p*(p-a)*(p-b)*(p-c)/p²;

r² = S²/p² - от формула на Херон;

r² = r²

Докажете равенството за суми от радиуси на вписани окръжности: r + 4*R = Ra + Rb + Rc

в уравнението: r + R = R*(cos(α) + cos(β) + cos(γ)) се заместват равенствата

Ra = r + Rb + Rc - 4*R*cos(α)

Rb = r + Ra + Rc - 4*R*cos(β)

Rc = r + Ra + Rb - 4*R*cos(γ)

r + R = R*(cos(α) + cos(β) + cos(γ))

r + R = 4*R*(cos(α) + cos(β) + cos(γ))/4

r + R = (-Ra + r + Rb + Rc - Rb + r + Ra + Rc  - Rc + r + Ra + Rb)/4

r + R = (Ra + Rb + Rc + 3*r)/4

r + 4*R = Ra + Rb + Rc

Преобладаващият брой задачи за вписани окръжности касаят предимно изчисляване радиус на вписана окръжност или чрез радиус на вписана окръжност да се изчислят елементи на триъгълник.

А) Подходът разделяй и владей разглежда четириъгълника ADQE като съставен от правоъгълни триъгълници, както и от делтоиди референтния триъгълник. Има данни само за дължини на страните от триъгълника ABC. Крайната цел е постигане на относително кратка формула за радиуси на външно вписани окръжности.

Четириъгълникът ADOE се разглежда като съставен от

триъгълник ABC

правоъгълен делтоид BDQH (BD = BH - доказва се чрез степен на точка, QD = QH = Ra - радиус на външно вписана окръжност)

правоъгълен делтоид CEQH (CH = CE - доказва се чрез степен на точка, QE = QH = Ra - радиус на външно вписана окръжност)

и двата делтоида имат двойка равни страни (QD = QH, QE = QH) с дължина Ra - радиус на външно вписаната окръжност

всеки от двата делтоида може да се представи като съставен съответно от двойка еднакви правоъгълни триъгълника с обща хипотенуза BQ и CQ - от свойства на диагонал в делтоид;

CH + BH = BC - страна на триъгълника с дължина a;

Sbdqh + Sceqh = 2*(BH*Ra)/2 + 2*(CH*Ra)/2 = Ra*( BH + CH ) = Ra*BC

Четириъгълникът ADQE се разглежда като съставен от два правоъгълни триъгълника ADQ, AEQ

Sadqe = Sadq + Saeq = AD*DQ/2 + AE*EQ/2 = Ra*(AB + BD + AC + CE)/2 = Ra*P/2 = Ra*p;

S = Sabc = Sadqe - Sbdqh = Ra*p - Ra*a;

S = Ra*(p-a);

Ra = S/(p - a);

продължавайки този ред на мисли

Rb = S/(p - b);

Rc = S/(p - c);

Б) Подходът на грубата сила ползва същите начални данни - дължини на страните от триъгълника ABC. Фокусът е в допълнителен триъгълник BQC със страни: страна от референтния триъгълник BC и отсечките от двете външни ъглополовящи BQ, CQ.

лице на триъгълник ABC: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

радиус на описана окръжност около триъгълник ABC: R = a*b*c/(4*S);

в следващите редове се използва факта, че вътрешната и външната ъглополовяща са взаимно перпендикулярни;

∢ABC: β = arcsin(b/(2*R));

∢BAC: γ = arcsin(c/(2*R))

разглежда се триъгълник BQC;

∢BCQ = 90⁰ - γ/2;

∢CBQ = 90⁰ - β/2;

∢BQC = 180⁰ - ∢BCQ - ∢CBQ = γ/2 + β/2;

радиус на описана окръжност около триъгълник BQC: Rbqc = a / (2*sin(∢BQC));

BC = a; BQ = 2*Rq*sin(∢BCQ); CQ = 2*Rq*sin(∢CBQ);

Sbcq = BC*BQ*CQ/(4*Rq);

Ra = 2*Sbcq/BC

по същия алгоритъм се изчислява дължина на радиусите Rb, Rc.

Вариант е използване на формулата: S = a*b*sin(C)/2

S = a*sin(B)*sin(C)*R чрез заместване a = 2*R*sin(A) - от синусова теорема;

S = sin(A)*sin(B)*sin(C) *2*R² - чрез заместване на sin(B) = b/(2*R) - от синусова теорема;

В) Подходът с използване на алгоритми от изчислителната геометрия ползва за начални данни - координати на върховете от триъгълника ABC. Фокусът е в изчисляване на разстояние от пресечната точка на двойка външни ъглополовящи (BQ,CQ) към страна BC на референтния триъгълник.

в цикъл се изчисляват дължини на страни - алгоритъм разстояние между две точки;

изчислява се лице на триъгълника;

изчислява се радиус на описаната окръжност;

изчисляват се вътрешните ъгли - синусова теорема;

в цикъл:

съставя се уравненията за двойката външни ъглополовящи с начало крайни точка на страна от триъгълника;

изчисляват се координати на тяхната пресечна точка;

изчислява се разстоянието между пресечната им точка и съответната страна - радиус на външно вписана окръжност, допираща се до тази страна.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: окръжности в триъгълник, вписани окръжности и радиуси, вписани окръжности и ъгли, тригонометрични функции.