Решени задачи на тема вписани окръжности в триъгълник ползващи различни формули за изчисляване на радиус. За произволен триъгълник съществуват 4 вписани окръжности:
Вписана окръжност допираща се до 3-те страни на триъгълник. Има за център пресечна точка на вътрешните ъглополовящи и дължина на радиус r:
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P
r = S/p;
както и
3 външно вписани окръжности, всяка от които:
се допира до страна на референтния триъгълник и продълженията на другите две страни на същия триъгълник;
има за център пресечната точка на 2-те ъглополовящи за външен ъгъл, съответстващ на прилежащ ъгъл на страната, допираща се до окръжността и на вътрешния ъгъл срещулежащ ма същата страна.
Дължина на радиус на външно вписана окръжност се изчислява като дължина на височина в триъгълник със страни: страна от референтния триъгълник и отсечки свързващи крайните точки на същата страна с центъра на външно вписаната окръжност. Приложеният алгоритъм е представен в разстояние между две точки.
Използвани формули за изчисляване радиуси на вписана, описана окръжност и външно вписани окръжности в триъгълник:
Ra = S/(p - a); Rb = S/(p - b); Rc = S/(p - c);
Ra = r + Rb + Rc - 4*R*cos(α); Rb = r + Ra + Rc - 4*R*cos(β); Rc = r + Ra + Rb - 4*R*cos(γ);
Ra + Rb + Rc + r = AH + BH + CH + 2*R само за остроъгълен/правоъгълен триъгълник
Ra + Rb + Rc + r = a + b + c - само за за правоъгълен триъгълник
r + R = R*(cos(α) + cos(β) + cos(γ))
Ra + Rb + Rc - r = a*b*c / S = 4*R
r + 4*R = Ra + Rb + Rc
r*Ra*Rb*Rc = S²
Ra*Rb*Rc = p*S
Ra*Rb = p*(p-c)
r*Ra = (p-b)*(p-c)
p² = Ra*Rb + Rb*Rc + Rc*Ra
радиуси и дължини на страни: r*R = a*b*c / (4*p)
r² = (p-a)*(p-b)*(p-c)/p;
S = 2*sin(α)*sin(β)*sin(γ)*R²
r = 4*R*sin (α/2)*sin (β/2)*sin (γ/2)
p = 4*R*cos(α/2)*cos(β/2)*cos(γ/2)
r*R = a*b*c / (4*p)
Част от изброените формули за вписани окръжности в триъгълник се извеждат чрез тригонометрични функции и/или подмножество на изброените и служат като условие на задача за доказване на тъждество. Пример:
Докажете равенството за радиус на вписани окръжности и лице на триъгълник: Ra*Rb*Rc = p*S
r*Ra*Rb*Rc = r*p*S
r*Ra*Rb*Rc = S² - следва;
Докажете равенството за радиус на вписани окръжности и лице на триъгълник: r*Ra*Rb*Rc = S²
Прилагат се формула за радиус на вписана окръжност и лице на триъгълник: r = S/p
(S/p)*(S/(p - a))*(S/(p - b))*(Rb = S/(p - b)) = S²
замества се S² = p*(p - a)*(p - b)*(p - c) от формула на Херон;
S² * S² / S² = S²
S² = S²
Докажете равенството за радиус на описана и вписана окръжност и полупериметър на триъгълник: r*R = a*b*c / (4*p)
Прилагат се формули за радиуси на описана и вписана окръжност: S = a*b*c/(4*R) и S = p*r;
(S/p)*(a*b*c/(4*S) = a*b*c / (4*p)
a*b*c / (4*p) = a*b*c / (4*p)
Докажете равенството за радиус на описана окръжност и лице на триъгълник: S = 2*sin(α)*sin(β)*sin(γ)*R²
S = (2*sin(α)*R)*(2*sin(β)/(2*R))*sin(γ) - от синусова теорема
S = a*b*sin(γ)/2
S = S
Докажете равенството за радиус на вписана окръжност и дължини на страни: r² = (p-a)*(p-b)*(p-c)/p;
r² = p*(p-a)*(p-b)*(p-c)/p²;
r² = S²/p² - от формула на Херон;
r² = r²
Докажете равенството за суми от радиуси на вписани окръжности: r + 4*R = Ra + Rb + Rc
в уравнението: r + R = R*(cos(α) + cos(β) + cos(γ)) се заместват равенствата
Ra = r + Rb + Rc - 4*R*cos(α)
Rb = r + Ra + Rc - 4*R*cos(β)
Rc = r + Ra + Rb - 4*R*cos(γ)
r + R = R*(cos(α) + cos(β) + cos(γ))
r + R = 4*R*(cos(α) + cos(β) + cos(γ))/4
r + R = (-Ra + r + Rb + Rc - Rb + r + Ra + Rc - Rc + r + Ra + Rb)/4
r + R = (Ra + Rb + Rc + 3*r)/4
r + 4*R = Ra + Rb + Rc
Преобладаващият брой задачи за вписани окръжности касаят предимно изчисляване радиус на вписана окръжност или чрез радиус на вписана окръжност да се изчислят елементи на триъгълник.
А) Подходът разделяй и владей разглежда четириъгълника ADQE като съставен от правоъгълни триъгълници, както и от делтоиди референтния триъгълник. Има данни само за дължини на страните от триъгълника ABC. Крайната цел е постигане на относително кратка формула за радиуси на външно вписани окръжности.
Четириъгълникът ADOE се разглежда като съставен от
триъгълник ABC
правоъгълен делтоид BDQH (BD = BH - доказва се чрез степен на точка, QD = QH = Ra - радиус на външно вписана окръжност)
правоъгълен делтоид CEQH (CH = CE - доказва се чрез степен на точка, QE = QH = Ra - радиус на външно вписана окръжност)
и двата делтоида имат двойка равни страни (QD = QH, QE = QH) с дължина Ra - радиус на външно вписаната окръжност
всеки от двата делтоида може да се представи като съставен съответно от двойка еднакви правоъгълни триъгълника с обща хипотенуза BQ и CQ - от свойства на диагонал в делтоид;
CH + BH = BC - страна на триъгълника с дължина a;
Sbdqh + Sceqh = 2*(BH*Ra)/2 + 2*(CH*Ra)/2 = Ra*( BH + CH ) = Ra*BC
Четириъгълникът ADQE се разглежда като съставен от два правоъгълни триъгълника ADQ, AEQ
Sadqe = Sadq + Saeq = AD*DQ/2 + AE*EQ/2 = Ra*(AB + BD + AC + CE)/2 = Ra*P/2 = Ra*p;
S = Sabc = Sadqe - Sbdqh = Ra*p - Ra*a;
S = Ra*(p-a);
Ra = S/(p - a);
продължавайки този ред на мисли
Rb = S/(p - b);
Rc = S/(p - c);
Б) Подходът на грубата сила ползва същите начални данни - дължини на страните от триъгълника ABC. Фокусът е в допълнителен триъгълник BQC със страни: страна от референтния триъгълник BC и отсечките от двете външни ъглополовящи BQ, CQ.
лице на триъгълник ABC: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
радиус на описана окръжност около триъгълник ABC: R = a*b*c/(4*S);
в следващите редове се използва факта, че вътрешната и външната ъглополовяща са взаимно перпендикулярни;
∢ABC: β = arcsin(b/(2*R));
∢BAC: γ = arcsin(c/(2*R))
разглежда се триъгълник BQC;
∢BCQ = 90⁰ - γ/2;
∢CBQ = 90⁰ - β/2;
∢BQC = 180⁰ - ∢BCQ - ∢CBQ = γ/2 + β/2;
радиус на описана окръжност около триъгълник BQC: Rbqc = a / (2*sin(∢BQC));
BC = a; BQ = 2*Rq*sin(∢BCQ); CQ = 2*Rq*sin(∢CBQ);
Sbcq = BC*BQ*CQ/(4*Rq);
Ra = 2*Sbcq/BC
по същия алгоритъм се изчислява дължина на радиусите Rb, Rc.
Вариант е използване на формулата: S = a*b*sin(C)/2
S = a*sin(B)*sin(C)*R чрез заместване a = 2*R*sin(A) - от синусова теорема;
S = sin(A)*sin(B)*sin(C) *2*R² - чрез заместване на sin(B) = b/(2*R) - от синусова теорема;
В) Подходът с използване на алгоритми от изчислителната геометрия ползва за начални данни - координати на върховете от триъгълника ABC. Фокусът е в изчисляване на разстояние от пресечната точка на двойка външни ъглополовящи (BQ,CQ) към страна BC на референтния триъгълник.
в цикъл се изчисляват дължини на страни - алгоритъм разстояние между две точки;
изчислява се лице на триъгълника;
изчислява се радиус на описаната окръжност;
изчисляват се вътрешните ъгли - синусова теорема;
в цикъл:
съставя се уравненията за двойката външни ъглополовящи с начало крайни точка на страна от триъгълника;
изчисляват се координати на тяхната пресечна точка;
изчислява се разстоянието между пресечната им точка и съответната страна - радиус на външно вписана окръжност, допираща се до тази страна.
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: окръжности в триъгълник, вписани окръжности и радиуси, вписани окръжности и ъгли, тригонометрични функции.