концентрични окръжности

Задачата концентрични окръжности е елемент от по-общата задача за взаимно разположение на две окръжности. Разглежда се триъгълник ABC, с построени описана окръжност с център т.О, височини и ортоцентър т.Н, три окръжности с център среда на страна и радиус с дължина разстоянието пета на медиана - ортоцентър. Всяка от трите помощни окръжности пресича съответната страна на триъгълника (или нейно продължение) в две точки. Извежда се нагледно доказателство, че 6-те пресечни точки са коциклични, инцидентни с окръжност чийто център има конгруенти координати с центъра на описаната окръжност около референтния триъгълник.

По тази тема са работили Steiner, Droz-Farny и Johnson. Задачата е известна и като окръжности на Droz-Farny тип 2. Радиусът на концентричната окръжност е Rf² = 0.5*(OH² + R²), където OH е разстоянието ортоцентър:център на описаната окръжност, R - радиус на описаната окръжност.

Алгоритъмът на построителната задача концентрични окръжности съдържа следните стъпки:

по въведени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

в цикъл последователно се построява съответната окръжност с център пета на медиана (Ma, Mb, Mc) и радиус разстояние от съответната пета до център на описаната окръжност - на чертежа с цвят червен;

общата точка на тези окръжности е ортоцентъра - на чертежа с цвят син;

получават се 6 пресечни точки между 3-те страни и 3-те окръжности - изчисляват се координатите на пресечните точки по алгоритми представен в секуща;

произволно се избират 3 от пресечните точки и се построява окръжност инцидентна с тях - алгоритъм окръжност по 3 точки;

изчислява се разстоянието между център на построената окръжност и център на описаната окръжност - получаването на конгруентни стойности е и доказателство на част от твърденията в задачата концентрични окръжности.

За извеждане на нагледното доказателство коцикличност на пресечните точки последователно се изчисляват разстоянията пресечна точка между страна на триъгълник и съответната допълнителна окръжност и се сравнява с радиуса на концентричната окръжност.

Проверява се валидността на изведената формула.

Сходна задача за 6 коциклични точки е задачата за окръжност на Adam. В триъгълник са построени: 3-те ъглополовящи, тяхната пресечна точка, вписаната окръжност, контактен триъгълник с върхове допирните точки между вписаната окръжност и страните на референтния триъгълник. През центъра на вписаната окръжност се построяват прави, всяка от които успоредна на съответната страна на контактния триъгълник. Получените 6 пресечни точки между страните на референтния триъгълник и построените прави са инцидентни с една и съща окръжност, концентрична на вписаната окръжност.

Докажете или отхвърлете твърдението: при правоъгълен референтен триъгълник и прилагане на същия алгоритъм се получават 3 концентрични окръжности с еднакъв радиус.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Droz-Farny, теорема на Johnson, степен на точка.