конкурентни окръжности

Построителната задача конкурентни окръжности разглежда алгоритъм за построяване на 4 взаимно пресичащи се окръжност с обща точка. Всички окръжности имат допирна точка с обща, покриваща ги окръжност. Извежда се нагледно доказателство, че реципрочните стойности на радиусите удовлетворяват равенствата.

1/R1 + 1/R2 = 1/R3 + 1/R4

R = R1 + R2, където

R - радиус на описаната окръжност

R1, R2 са радиуси на окръжности, чиито центрове принадлежат на диаметър от описаната окръжност;

R3, R4 са радиуси на окръжности, чиито центрове принадлежат на отсечка от същата окръжност.

Пресечната точка на разгледаните диаметър и хорда е общата точка на 4-те окръжности.

Алгоритъмът на построителната задача ползва като подалгоритъм деление на отсечка в дадено отношение (обобщена теорема на Талес) и съдържа следните стъпки:

построява се отсечка с дължина R желания радиус на описаната окръжност;

отсечката се разделя на 9 равни части - алгоритъма е разгледан както в обобщена теорема на Талес, така и в  деление на отсечка в дадено отношение;

дължините на отделните радиуси се формират съобразно уравненията:

R - радиус на описаната окръжност е с дължината на отсечката;

R1 = 2*R/3;

R2 = R/3;

R3 = R4 = 9/(4*R);

изпълнявайки горните равенства се изпълняват и началните условия на задачата;

R = R1 + R2;

1/R1 + 1/R2 =  3/(2*R) + 3/R;

1/R3 + 1/R4 = 9/(4*R) + 9/(4*R);

така:

3/2*R + 3/R = 9/4*R + 9/4*R;

6/4*R + 12/4*R = 2*9/4*R;

9/2*R = 9/2*R;

се изпълнява и второто изискване в задачата;

посочва се точка с координати Ох, Оу и се построява описаната окръжност с радиус R;

всяка окръжност в равнината еднозначно се дефинира с 3 уравнения: изчисляване дължина на радиус, изчисляване координати за център по абсциса и ордината;

координати на общата пресечна точка на 4-те окръжности:

Qx = Ox +R * Cos(3*Pi / 2)

Qy = Oy + R * Sin(3*Pi / 2)

параметри на окръжност Изток:

радиус R1 = 4 * R / 9;

O1x = Qx + R5 * Cos(0⁰);

O1y = Qy + R5 * Sin(0⁰);

параметри на окръжност Запад:

радиус R2 = 4 * R / 9;

O2x = Qx + R4 * Cos(180⁰);

O2y = Qy + R4 * Sin(180⁰);

параметри на окръжност Север:

радиус R3 = 2 * R / 3;

O3x = Qx + R3 * Cos(90⁰);

O3y = Qy + R3 * Sin(90⁰);

параметри на окръжност Юг:

радиус R4 = 2 * R / 3;

О4x = Qx + R4 * Cos(270⁰);

O4y = Qy + R4 * Sin(270⁰);

Допирните точки на 4-те окръжности до описаната окръжност могат да се разглеждат също и като върхове на правоъгълен делтоид.

Разгледаната задача конкурентни окръжности е елемент от множеството задачи Sangagu.

В задачите: окръжности с обща точка, арменска спирала, теорема на Johnson, теорема на Микел, теорема на Масселман, теорема на Микел, теорема SCI, окръжност на ван Ламоен и др. Основният проблем е построяването на група конкурентни окръжности.

теорема на Микел (Miquel's theorem): ако точките D, E, F лежат съответно на всяка от страните на произволния триъгълник ABC, или на тяхното продължение, то описаните окръжности около триъгълниците AEF, BDF, CDE се пресичат в една точка, наречена точка на Микел (Miquel point). В случая точката на Микел е обща точка за трите конкурентни окръжности.

теорема SCI извежда твърдението: за произволен триъгълник от равнината съществуват три окръжности с равни радиуси, като всяка от трите окръжности преминава през връх на референтния триъгълник и средата на страните му - рамена на ъгъла със същия връх. В случая центъра на описаната окръжност е обща точка за трите конкурентни окръжности.

теорема на Масселман (Musselman's theorem) гласи: ако около произволен триъгълник ABC се опише окръжност с център O и се построят  симетричните (относно срещулежащата страна) пети на височини  точки A', B' и C', то трите окръжности описани около триъгълниците AOA', BOB' и COC' се пресичат в обща точка - точка на Масселман, обща точка за трите конкурентни окръжности.

теорема на Johnson (Johnson's theorem): ако в остроъгълен триъгълник ABC се построят трите триъгълника  HAB, HBX, HCA (два различни върха и ортоцентъра H), то 3-те описани окръжности около тези триъгълника имат равни радиуси. В случая ортоцентърът е обща точка за трите конкурентни окръжности.

окръжността на ван Ламоен (Van Lamoen circle) е инцидентна с центъра на всяка от описаните окръжности около триъгълниците ACmM, BCmM, BAmM, CAmM, CBmM и ABmM, където ABC е произволен триъгълник от равнината, т.M неговия медицентър, а точките Am, Bm, Cm пети на медианите. В случая медицентърът е обща точка за трите конкурентни окръжности.

Разгледайте други видове геометрични фигури, чието построяване ползва примери и задачи от областта на изчислителната геометрия. Прочетете допълнителна информация за: геометрични фигури, шестоъгълник на Наполеон, височини в триъгълник, равни радиуси.