В разгледаните основни задачи за повърхнина на паралелепипед по въведени стойности на два елемента повърхнина, обем, основен/околен ръб се изчисляват стойности за останалите елементи на паралелепипед.
Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед, c - околен ръб и f - телесен диагонал.
от уравнение за P = 4*(a+ b + c) - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед се извежда (a + b + c)² = (P/ 4)²;
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ac + 2bc + 2ab = (P/ 4)²;
дължина на телесен диагонал f² = e² + c² = a² + b² + c²;
се изчислява пълна повърхнина S = (P/ 4)² - f² = 2ac + 2bc + 2ab;
диагонал на основата: e = √(f² - c²);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c = 2*((P/ 4) - c)*c;
прилага се теорема на Питагор: a² + b² = e²;
съставя се система от две уравнения с две неизвестни a и b:
a + b = (P/ 4) - c;
2*a*b = ((P/ 4) - c)² - e²;
системата се редуцира до квадратно уравнение;
взема се положителния корен за дължина на основен ръб;
изчислената стойност се полага в уравнението a + b = (P/ 4) - c и се изчислява втория основен ръб;
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
Да се изчисли V - обем на паралелепипед и P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед по въведени So - околна повърхнина, S - пълна повърхнина и c - околен ръб.
от So = 2*(a+b)*c се извежда a + b = So/(2*c);
от S - So = 2*a*b;
съставя се система от две уравнения с две неизвестни a и b
a + b = So/(2*c );
a*b = (S - So)/2;
и се изчислява дължина на основен ръб a и b;
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и f - телесен диагонал по въведени V - обем на паралелепипед, So - околна повърхнина и c - околен ръб.
от уравнението So = 2*(a+b)*c се извежда a + b = So/(2*c);
от уравнението V = a*b*c се извежда a*b = V/c;
съставя се система от две уравнения с две неизвестни a и b
a*b = V/c;
a + b = So/(2*c) замества се m = So/(2*c);
така a = m-b;
Решава се квадратното уравнение:
(m - b)*b = V/c;
b² - m*b + V/c = 0;
изчислява се ръб на основата a = V/(b*c);
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и f - телесен диагонал по въведени V - обем на паралелепипед, S - пълна повърхнина и c - околен ръб.
от уравнението V = a*b*c следва a*b = V/c;
от уравнението S = 2*c*(a+b) + 2*a*b; следва a+b = (S - 2*a*b)/(2*c) = (S - V/c)/(2*c);
съставя се система от две уравнения с две неизвестни a и b:
a*b = V/c;
a+b = (S - V/c)/(2*c), полага се m = (S - V/c)/(2*c);
така a = m-b;
Решава се квадратното уравнение:
(m - b)*b = V/c;
b² - m*b + V/c = 0;
изчислява се ръб на основата a = V/(b*c);
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
околна повърхнина: Sо = S - 2*a*b;
Да се изчисли V - обем на паралелепипед и f - телесен диагонал по въведени S - пълна повърхнина, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и c - околен ръб.
От уравненията:
S = So + 2*a*b = 2ac + 2bc + 2ab;
(P/4)² = (a + b + c)² = a² + 2ab + b² +2bc +c² +2ac;
телесен диагонал: f = √((P/4)² - S) = √(a² + b² + c²);
диагонал на основата: e = √(f² - c²); ще се ползва √(a² + b²) = e;
съставя се система от две уравнения с две неизвестни a и b;
a² + b² = f² - c²;
a + b = P/4 - c;
чрез субституция системата се свежда до квадратно уравнение и се изчислява дължина на основните ръбове a,b;
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
Да се изчисли S - пълна повърхнина и f - дължина на телесен диагонал по въведени V - обем на паралелепипед, P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед и c - околен ръб.
от уравнението за сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед P = 4*(a+ b + c) следва a+ b = P/4 - c;
от уравнението за обем на паралелепипед V = a*b*c следва a*b = V/c;
съставя се система от две уравнения с две неизвестни a и b
a + b = P/4 - c;
a*b = V/c;
след заместване системата се свежда до квадратно уравнение;
V/(b*c) + b = P/4 - c;
c*b² - (P/4 - c)*b*c + V = 0
решава се квадратното уравнение с неизвестно b;
a = P/4 - c - b;
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени e - диагонал на основата, f - телесен диагонал и So - околна повърхнина.
от уравненията e² = a² + b² и f² = e² + c² се изчислява околен ръб c = √(f² - e²);
от уравнението So = 2*(a+b)*c следва a+b = So /(2c);
(a+b)² = (So /(2c))²;
а² + 2ab + b² = (So /(2c))²;
e² + 2ab = (So /(2c))²;
a*b = 0.5*((So /(2c))² - e²);
съставя се система уравнения:
a*b = 0.5*((So /(2c))² - e²);
(a + b) = So /(2c);
и се изчислява стойностите за a и b - дължина на основните ръбове в паралелепипед;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и V - обем на паралелепипед по въведени S - пълна повърхнина, e - диагонал на основата и f - телесен диагонал.
от уравненията e² = a² + b² и f² = e² + c² се изчислява околен ръб c = √(f² - e²);
от формула (a+ b + c)² = a² + b² + c² + 2ac + 2bc + 2ab = f² + S;
a + b = √(f² + S) - c = √(f² + S) - √(f² - e²);
съставя се система уравнения:
a + b = √(f² + S) - c;
a² + b² = e²;
изчисляват се стойностите за a и b - дължина на основните ръбове в паралелепипед;
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
Да се изчисли S - пълна повърхнина и P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед по въведени V - обем на паралелепипед, e - диагонал на основата и f - телесен диагонал.
от уравненията e² = a² + b² и f² = e² + c² се изчислява c = √(f² - e²)
от уравнението V = a*b*c следва a*b = V/c;
биномът (a + b)² = a² + b² + 2*a*b = e² + 2*V/c;
съставя се система уравнения:
a + b = √(e² + 2*V/c);
a*b = V/c;
изчисляват се стойностите за a и b - дължина на основните ръбове в паралелепипед;
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на паралелепипед по въведени e - диагонал на основата, f - телесен диагонал и P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед.
изчислява се околен ръб: c = √ (f² - e²);
от уравнението P = 4*(a + b + c) следва a + b = P/4 - c;
съставя се система уравнения:
a + b = P/4 - √ (f² - e²); замества се m = P/4 - √ (f² - e²);
a = m - b;
a² + b² = e²;
след субституция се решава квадратното уравнение
( m - b)² + b² = e²;
m² - 2*m*b + b² + b² = e²;
2*b² - 2*m*b + m² - e² = 0;
и се изчислява стойност за b - основен ръб на паралелепипед;
изчислява се основен ръб на паралелепипед a = √(e² - b²);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
Да се изчисли P - сума от дължини на основни и околни ръбове на правоъгълен паралелепипед и V - обем на паралелепипед по въведени: So - околна повърхнина, S - пълна повърхнина и e - диагонал на основата.
от уравненията за околна и пълна повърхнина So = 2*(a+b)*c и S = So + 2*a*b се извежда a*b = (S - So)/2
от уравнението (a + b)² = a² + 2*a*b + b² = a² + b² 2*a*b = e² + (S - So);
съставя се система уравнения:
a*b = (S - So)/2;
(a + b) = √(e² + S - So);
и след субституция a = (S - So)/(2*b) се решава квадратното уравнение:
(S - So)/(2*b) + b = √(e² + S - So);
2*b² - 2*√(e² + S - So)*b + S - So = 0;
и се изчислява стойностите за основен ръб b;
основен ръб: a = (S - So)/(2*b);
околен ръб: c = So/(2*a + 2*b);
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: паралелепипед, диагонал на паралелепипед, обем на паралелепипед.