вписани окръжности и ъгли

В решените задачи на тема вписани окръжности и ъгли се ползват следните формули за изчисляване на радиус:

Ra = S/(p - a); Rb = S/(p - b); Rb = S/(p - b);

Ra = r + Rb + Rc - 4*R*cos(α)

Rb = r + Ra + Rc - 4*R*cos(β)

Rc = r + Ra + Rb - 4*R*cos(γ)

където Ra, Rb, Rc са радиусите на съответните външно вписани окръжности.

както и изведените от тях:

Ra = 2*R*(cos(β) + cos(γ)) - r;

Rb = 2*R*(cos(α) + cos(γ)) - r;

Rc = 2*R*(cos(α) + cos(β)) - r;

Основни задачи свързани с вписани окръжности и ъгли:

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: радиус на описана окръжност R, ъгъл BAC = α, ъгъл ABC = β;

ъгъл ACB: γ = 180⁰ - α - β

страна BC: a = 2*R*sin(α) - от синусова теорема;

страна AC: b = 2*R*sin(β);

страна AB: c = 2*R*sin(γ);

лице на триъгълник Sabc: S = a*b*c/(4*R)

периметър: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P

радиус на външно вписани окръжности и ъгли:

Ra = 2*R*(cos(β) + cos(γ)) - r;

Rb = 2*R*(cos(α) + cos(γ)) - r;

Rc = 2*R*(cos(α) + cos(β)) - r;

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: лице на триъгълник Sabc = S, ъгъл BAC = α, ъгъл ABC = β;

ъгъл ACB: γ = 180⁰ - α - β

от формула за лице на триъгълник S = a*b*sin(γ)/2 = (2*R*sin(α))*(2*R*sin(α))*sin(γ)/2 = (2*R²)*sin(α)*sin(β)*sin(γ);

радиус на описана окръжност: R = √ (S/(2*sin (α)*sin (β)*sin (γ))

страна BC: a = 2*R*sin(α) - от синусова теорема;

страна AC: b = 2*R*sin(β)

страна AB: c = 2*R*sin(γ)

периметър: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = 2*R*(cos(β) + cos(γ)) - r;

Rb = 2*R*(cos(α) + cos(γ)) - r;

Rc = 2*R*(cos(α) + cos(β)) - r;

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: радиус на вписана окръжност r, ъгъл BAC = α, ъгъл ABC = β;

γ = 180⁰ - α - β

пресечната точка на ъглополовящите т.О е център на вписаната окръжност, последователно се разглеждат триъгълниците ABO, ACO, BCO с височина r;

страна BC: a = r*(cos(0.5*β) + cos(0.5*γ));

страна AC: b = r*(cos(0.5*α) + cos(0.5*γ));

страна AB: c = r*(cos(0.5*β) + cos(0.5*α));

периметър: P = a + b + c;

лице на триъгълник Sabc: S = P*r/2;

радиус на описана окръжност: R = a/(2*sin(α)) - от синусова теорема;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = 2*R*(cos(β) + cos(γ)) - r;

Rb = 2*R*(cos(α) + cos(γ)) - r;

Rc = 2*R*(cos(α) + cos(β)) - r;

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: радиус на описана окръжност R, лице на триъгълник Sabc = S, ъгъл BAC = α.

дължина на страна BC: a = 2*R*sin(α) - от синусова теорема;

от формула за лице на триъгълник S = 0.5*b*c*sin(α) се извежда: b*c = 2*S/sin(α);

a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α) - от косинусова теорема;

b² + c² = a² + S*cos(α)/sin(α);

b*c = 2*S/sin(α) = n;

(b + c)² = a² + 4*S*cos(α)/sin(α) = m²;

дължини на страни:

b + c = m;

от b*c = n се извежда b = n/c;

n/c + c - m = 0;

c² - m*c + n = 0;

изчислява се дължина на страна AC: b = n/c;

периметър: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

ъгли:

от синусова теорема b/sin(β) = 2*R се изчислява ъгъл ABC: β = arcsin(2*R/b);

ъгъл ACB: γ = 180⁰ - α - β;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = 2*R*(cos(β) + cos(γ)) - r;

Rb = 2*R*(cos(α) + cos(γ)) - r;

Rc = 2*R*(cos(α) + cos(β)) - r;

Да се изчислят елементи на триъгълник по въведени стойности за: лице на триъгълник Sabc = S, дължина на страна = a и срещулежащ ъгъл BAC = α.

R = a/(2*sin(α));

от формулата лице на триъгълник S = 0.5*b*c*sin(α) се изчислява произведението b*c = 2*S/sin(α)

чрез субституция в косинусова теорема a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)

и система уравнения се изчисляват дължините на страните b, c;

периметър: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P

ъгъл ABC: β = arcsin(b/(2*R);

ъгъл ACB: γ = 180⁰ - α - β;

радиус на външно вписани окръжности:

Ra = 2*R*(cos(β) + cos(γ)) - r;

Rb = 2*R*(cos(α) + cos(γ)) - r;

Rc = 2*R*(cos(α) + cos(β)) - r;

Задачи за вписани окръжности и ъгли свързани с доказване на тъждество:

sin(α)*sin(β)*sin(γ) = S/(2*R²)

sin(α/2)*sin(β/2)*sin(γ/2) = r/(4*R)

cos(α/2)*cos(β/2)*cos(γ/2) = p/(4*R)

За sin (α)*sin (β)*sin (γ) = S/(2*R²) се прилага формулата S = abc/(4*R)

(a/(2*R))*(b/(2*R))*(c/(2*R)) = S/(2*R²) - от синусова теорема sin(α) = a/(2*R) ...

a*b*c/(4*R)*(1/(2*R²)) = S/(2*R²)

S*1/(2*R²) = S/(2*R²)

S/(2*R²) = S/(2*R²)

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: тригонометрични функции, вписани окръжности и радиуси, отношения в триъгълник.