описан делтоид

В разгледаните основни задачи за описан делтоид, вписана окръжност в делтоид  по въведени стойности на три елемента лице, страни, диагонали, ъгли, радиус на вписана/описана окръжност се изчисляват стойности за останалите елементи на делтоида.

По въведени r - радиус на вписаната окръжност и a,b дължини на страни в делтоид да се изчисли: OQ - дължина на междуцентровото разстояние, S - лице и  e,f - диагонали на делтоид.

В произволен делтоид може да бъде вписана окръжност с център пресечната точка на вътрешните ъглополовящи. По дефиниция центърът на вписаната окръжност принадлежи на единия от диагоналите. Около правоъгълен делтоид може да се опише окръжност - пресечната точка на симетралите принадлежи на диагонала свързваш върхове със съседни равни страни. От теорема на Питагор:

дължина на диагонал: f =  √(a² + b²);

радиус на описана окръжност R = f/2;

лице на правоъгълен триъгълник St = a*b/2;

лице на делтоид: S = 2*St = a*b - формулата се отнася само за правоъгълен делтоид;

от формулата за лице на делтоид: S = e*f/2 се изчислява дължина на диагонал: e = 2*S/f;

от формулата за дължина на междуцентровото разстояние 1 / (R - r)² + 1 / (R + OQ)² = 1 / r²  се изчислява OQ;

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

По въведени  ъгъл β (ъгъл при върха на равнобедрен триъгълник с основа e и бедра b) и e,f дължини на диагонали в делтоид да се изчисли: S - лице на делтоид и радиус на вписаната окръжност r.

от правоъгълен триъгълник CGD се изчислява дължина на страна b = e/(2*cos(β/2)); 

лице на делтоид: S = e*f/2;

дължина на отсечката AG  n = e - m ; 

от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник AGC с хипотенуза a и катети части от диагоналите - f/2, n - част от диагонала e: a = √(n² + (f/2)²); 

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P; 

По въведени дължини за: страна b, диагонал f и ъгъл β (ъгъл при върха на равнобедрен триъгълник с основа e и бедра b) да се изчисли P - периметър и S - лице на делтоид.

от правоъгълен триъгълник CGD m

диагонал e = 2*b*sin(β/2);

лице на делтоид: S = e*f/2;

n = e - m;

от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник AGD с хипотенуза a и катети части от диагоналите: e/2, n - част от диагонала f се изчислява дължина на страна: a = √(n² + (e/2)²);

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P; 

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

По въведени дължини за: диагонали e,f и ъгъл α (ъгъл при върха на равнобедрен триъгълник с основа f и бедра a) да се изчисли P - периметър и S - лице на делтоид.

от косинусова теорема за равнобедрен триъгълник: страна a = e/√(2 - 2*cos(α)); 

от правоъгълен триъгълник AGD n = a*cos(α /2);

m = f - n;

от правоъгълен триъгълник CGD b = √(m² + (e/2)²);

лице на делтоид: S = e*f/2;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P; 

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

По въведени дължини за S - лице на делтоид и m, n части на диагонала f, да се изчисли P - периметър и r - радиус на вписаната окръжност.

f = m+n

e = 2*S/e

от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник CGD с хипотенуза b и катети части от диагоналите - e/2, m - част от диагонала e се изчислява дължина: b = √(m² + (e/2)²);

от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник AGD с хипотенуза a и катети части от диагоналите - e/2, n - част от диагонала e се изчислява дължина: a = √(n² + (e/2)²);

лице на делтоид: S = e*f/2;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P; 

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл α;

По въведени дължина за страна a и радиус на описаната окръжност R да се изчислят e,f - диагонали и S - лице на делтоид.

Само около правоъгълен делтоид може да се опише окръжност с диаметър диагонал f = 2*R;

от теорема на Питагор f = √(a² + b²) се изчислява страна b = √( f² - a² );

Sabd = a*b/2 - правоъгълен триъгълник;

лице на делтоид: S = 2*Sabd - диагоналът f разделя делтоида на два еднакви триъгълника;

диагонал e = 2*S/f;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P; 

По въведени дължини за: страна b и диагонали e,f да се изчисли P - периметър и S - лице на делтоид.

лице на делтоид: S = e*f/2;

диагоналът, свързващ върхове с двойка равни по дължина страни, f се представя като сума от отсечки получени при пресичането му с перпендикулярния диагона: f = m+n;

разглеждат се две двойки (AGB,AGD) (CGB,CGD) еднкви правоъгълни триъгълници, в които катети са частите m,n на диагонала f;

m = √(b² - (e/2)²) - от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник;

n = f - m;

a = √((n² + (e/2)²) - диагоналът, свързващ върхове на делтоида с различни по дължина страни, се разполовява от диагонала f;

периметър на делтоид: P = 2*(a+b);

от формула за лице на делтоид S = P*r/2 се изчислява радиус на вписаната окръжност r = 2*S/P; 

чрез косинусова теорема за триъгълника BAD се изчислява ъгъл α;

чрез косинусова теорема за триъгълника ABC се изчислява ъгъл γ;

чрез косинусова теорема за триъгълника BCD се изчислява ъгъл β;

Четириъгълникът с върхове допирни точки на вписаната окръжност има перпендикулярни диагонали и  основи перпендикулярни на диагонал в делтоида - може да се докаже чрез степен на точка. Една от задачите разгледани в перпендикулярни хорди.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули  от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: делтоид, вписан делтоид, делтоид и подобни квадрати, косинусова теорема, теорема на Питагор, теореми и формули.