задачи с пропорция

Пропорция е равенство в отношенията на две двойки числа a/b=c/d, думата е с латински произход. В задачите с пропорция (просто тройно правило) търсеното неизвестно се изчислява чрез заместване:

a*d = b*c - правило на кръста, произведението от средните членове на пропорция е равно на произведението от нейните крайни членове.

Свойства на пропорция - от равенството двете двойки a/b = c/d могат да бъдат изведени следните формули:

a/b = c/d основна формула:

a/c = b/d - от правилото на кръста;

c/a = b/d - от правилото на кръста;

(a+b)/b = (c+d)/d  - сума на пропорция;

(a-b)/b = (c-d)/d - разлика на пропорция;

a/b = (a+c)/(b+d) - пропорция със сума;

a/b = (a-c)/(b-d) - пропорция с разлика.

Използването на тези формули дава отговор на задачи с пропорция от типа: от равенството  a*d = b*c  съставете  пропорция; кои от изброените отношения образуват пропорция или отрицанието, кои от изброените отношения не образуват пропорция и т.н.

Ако две променливи a, b са пропорционални, то те са свързани с коефициент на пропорционалност,  пропорционална константа, мащаб равен на тяхното отношение a/b.

Свързани с пропорция е и описанието в етикета на хранителни стоки, напитки, лекарства и др.

Те са основа за условие и параметри за най-лесните задачи с пропорция - само цифри. Задачите са предимно два типа и са в основата на множество тестове: 

по дадени комбинации от 4 стойности да се провери кои 4 са в пропорция;

по дадени 3 стойности: коефициент на пропорция (най-често смесена десетична дроб) и двойка числа за съставяне на отношение.

При автоматизирано генериране на стойности е желателно числата да са съставни и като делители да имат комбинация от прости числа с различни степени. Примери:

Избраният коефициент на пропорционалност 18 има за делители 2,3,3, чрез него формираната пропорция 3/5 (двете числа са генерирани като случайни) има съответна двойка 54/90.

Избраният коефициент на пропорционалност 1.2 има за делители 2,2,3 и знаменател 2*5, чрез него формираната пропорция 4/7 има съответна двойка 4.8/8.4.

Естествено при генериране на неверните отговори (дистрактор) е необходима допълнителна проверка или просто добавяне на цифра към една от двете числа в отношението.

Основни алгоритми в задачите за сравняване на две дроби: по простия чрез кръстното правило се отчита равенство/неравенство на двете произведения; по сложния алгоритъм - всяка от двете двойки дроби се редуцира до проста/неделима дроб и се извършва сравнението.

Често срещани задачи с пропорция са свързани с изчисляване на процент. Примерни задачи за проценти чрез пропорция:

Ако в клас с 25 ученика от тях 14 са момчета. Какъв е процентът момичета в същия клас?

25 ученика   100%

1 ученик    х%

1 ученик = 100/(25*1) = 4%

момичета = 25 - 14 = 11

%момичета = 11*4% = 44%

%момчета = 14*4% = 56%

Пътностроителна фирма за 8 месеца изпълнява 76% от годишния план. Ако работи със същия темп какъв процент от плана би изпълнила? Отговор 114%

Пресните краставици съдържа 98% вода. Каква е масата на водата в 15 кг краставици? Отговор 14.7

Задача от подобен тип е за разпределяне на печалба/дивидент.

Двама приятели вложили съответно 750 и 1250 лв. и след приключване на работата. Първият получил съответната печалба от 123 лв. Каква печалба е била разпределена за другия? 

Задачи за преобразуване на мерни единици с пропорция:

Бюрата за обмен на валута целодневно решават задачи с пропорция.

Задачи за преобразуване на мерни единици  с пропорция:

Инч (на английски Inch; на немски Zoll) е мерна единица за дължина, като 1 инч е  равен на 25,4 mm. Разстоянието 19.685 метра колко инча е?

Преобразуваме 25.4 [mm] в метри:

 25.4/1000 = 0.0254 [m]

Съставя се пропорция:

1    0.0254

х    19.685

х = 19.685*1/0.0254 = 775 [Inch]

Използваният мащаб на карта е 1:250000. 18 сантиметра от картата какво разстояние в километри представят?  Отговор: 45. Преобразувайте мерните единици и използвайте коефициент на пропорцията.

По-сложен вариант на пропорция е при преобразуване на градуси от скала по Фаренхайт към скала по Целзий и обратно.

Задачи от работа с пропорция:

Трима работника с равна производителност за 8 часа набират 72 кг. малини. При същите условия 7 работника за 10 часа колко малини биха набрали?

Условието подхожда на задача за сложно тройно правило, но тук има явно определена пропорция.

От отношението 8 часа 72 кг. следва за 1 час 9 кг.

3 работника за 1 час 9 кг, от което следва 1 работник за 1 час 3 кг.

7 работника за 1 час 7*3 кг.

7 работника за 10 часа 7*3*10 = 210 кг.

Трима приятели се наели да свършат определена работа за сумата от 400. Не всички участвали равностойно и след изплащане на договорената сума се разбрали да поделят сумата в отношение 4:7:5. Кой колко е получил? Отговор 100:175:125

За построяване на туристическа хижа 16 човека за 45 дни пренесли с раници всичко необходимо за строежа. За колко дни 12 човека биха пренесли същия товар?   Отговор 60. 

За транспорт на товар въглища са ползвани 16 самосвала с товароносимост 3.5 тона. Колко самосвала с товароносимост 8 тона са необходими за транспорт на същия товар. Отговор 7.

С изчисляване на процент са свързани голям брой задачи от смеси и сплави:

За сплав от два метала са дадени: маса на сплавта, както и отношението между масите на металите. Да се изчисли масата на всеки от металите, както и техния процент в масата на сплавта. 

Пример: Ox/Oy = 1/4, маса на сплавта 90 кг. Отговор: Mx = 18 кг., My = 72 кг., Px = 20%, Py = 80%

Ox - коефициент представящ метал X в относителни единици;

Oy - коефициент представящ метал Y в относителни единици;

Ms - маса на сплавта;

Px - процент за метал X се изчислява по формулата: 

Px = OtnX * 100 / (OtnX + OtnY) = 1* 100 / (1 + 4) = 20%;

Py - процент за метал Y се изчислява по формулата: 

Py = OtnY * 100 / (OtnX + OtnY) = 4* 100 / (1 + 4) = 80%;

Mx - маса за метал X се изчислява по формулата:

Mx = Ms * Px / 100;

90 * 20/100 = 18 кг.;

My - маса за метал Y се изчислява по формулата:

My = Ms * Py / 100;

90 * 80/100 = 72 кг.

За сплав от два метала са дадени общата маса, както и процентът на участие на първия метал Px. Търсят се масите на двата метала участващи в сплавта.

Пример: Ms = 54, Px = 15%   Отговор: Py = 85%,  Mx=8.1, My = 45.9

За сплав от два метала са дадени поотделно масите на двата метала Mx, My. Търси се процентът участие на всеки метал в сплавта, както и тяхното отношение.

Пример: Mx = 14, My = 26   Отговор: Px = 35%,  Py= 65%, Ox = 7, Oy=13, Ms = 40

Геометрични задачи с пропорция:

пресечната точка на медианите в триъгълник - неговия медицентър и център на тежестта, дели всяка медиана по дължина в отношение 2:1 считано от върха.

медиана в триъгълник разделя триъгълника на две равнолицеви триъгълника - лицата на двата триъгълника са в отношение 1:1. Доказателството е чрез формулата за лице на триъгълник - полупроизведение на височина и срещулежаща страна. В случая и двата триъгълника имат една и съща височина (към разделената страна), тази на референтния триъгълник;

в триъгълник съществува пропорция между дължините на отсечките OM = OH/3  за т.O - център на описана окръжност, т.H - ортоцентър, т.M - медицентър (отношенията са разгледани в 9-точкова окръжност);

теоремата за ъглополовяща гласи: ъглополовящата на вътрешен ъгъл на триъгълника дели срещулежащата му страна на отсечки, чиито дължини са в отношение равно на отношението на другите две страни. Вярно е и обратното твърдение: ако D е точка от страната BC на триъгълника ABC и дължините на отсечките са в отношение BD/AB = CD/AC, то AD е ъглополовяща на ъгъл CAB.

обобщена теорема на Талес: разделяне на отсечка в дадено съотношение (средно геометрични отсечки), изчисляване размер на недостъпен обект (височина на пирамида), подобни триъгълници;

питагорови тройки са също често срещана задача, но редицата (3,4,5);(6,8,10).. е преекспонирана. Вариант за същата тема е редицата (5,12,13); (10,24,26);(15,36,39);(20,48,52);(25,60,65);(30,72,78);(35,84,91);

в задачата степен на точка P(x,y) спрямо окръжност с център O(x,y) и радиус R, чрез пропорция се представя разстоянието между окръжност и точка външна за окръжността; 

отношението между разстоянията на т. М до окръжност с център т.О и радиус R определя еднозначно позицията на точка спрямо окръжност:

PO/R > 1 - точката лежи извън окръжността;

PO/R = 1  - точката лежи на окръжността;

PO/R  < 1 - точката лежи в окръжността;

ако две хорди в една окръжност са равни, разстоянията от центъра на окръжността до хордите са равни;

в окръжност диаметърът, перпендикулярен на дадена хорда, разполовява хордата;

дължините на пресичащи се хорди, от една и съща окръжност, са в определена пропорция  AP/ CP = BP/ DP или AP*DP = BP*CP.

В триъгълник ABC и медицентър т.M е построена медиана AK. Каква е дължината на медианата AK, ако AM=5.

AM/MK = 2/1  MK = AM*1/2 = 5/2 = 2.5

AK = AM + MK = 5+2.5 = 7.5

в изпъкнал четириъгълник ABCD с пресечна точка на диагоналите т.О съществува равенство между произведенията от лицата на триъгълниците: Saod * Sboc = Sabo * Scdo.

На две успоредни прави са разположени съответно 5 и 7 точки. Колко равнолицеви триъгълника могат да се образуват, ако върховете на всеки триъгълника са точки от двете прави? Разгледайте страницата точки на две прави.

Често срещани задачи в тестове са за коефициент на пропорция / равенство на ъгли в един или повече триъгълници - обобщена теорема на Талес.

Известни пропорции:

сребърна пропорция  (silver ratio) със стойност ирационалното число: 2.4142135623730950488... Един от алгоритмите за изчисляване е чрез верижна дроб.

златна пропорция (божествена пропорция) е ирационално число представящо отношение на части, за които по-голямата част се отнася към по-малката така, както цялото към по-голямата. Терминът е въведен от Леонардо да Винчи като пропорция за „идеалното човешко тяло“, но пропорция със същия коефициент е прилагана векове преди това.

Двете пропорции са разгледани в числа на Пел.

Шеговити и "старинни" задачи с пропорция:

Летели ято гъски, насреща им щъркел и той поздравил. Здравейте, 100 гъски! Водачът на ятото отговорил: ние не сме 100 гъски, но колкото сме и още толкова и половината, плюс четвъртината заедно с теб ще станем 100.  Колко са гъските в ятото?

В групата задачи за брой животни по определен брой глави и различен брой крайници по вид трябва да се състави и система уравнения.

Риба и половина, лев и половина. 10 риби колко лева струват?

Кое тежи повече - килограм хартия или килограм желязо?

В задачата за маймуна и кокосови орехи петима моряци и маймунка попаднали на необитаем остров с гора от кокосови палми. Събрали нападалите орехи и легнали да спят. Поотделно всеки от моряците през нощта честно разделял орехите на 5 равни части, прибирал си частта,  останалия излишен 1 орех давал на маймуната. На сутринта всички заедно раздели по равно останалите орехи.

Интерес будят текстовите задачи основани на китайската теорема за остатъци и извеждане на целочислено частно и целочислен остатък.

В една обширна птицеферма цари униние. Всяка птица се уединила и се забавлява по свой си начин. Петлите на 6-те породи Зибрайт, Бентамка, Падуан, Легхорн,  Родайланд, Нюхемпшир отглеждани във фермата решили да потърсят съвет от уважавана личност - страховития пазач на име Шаро.

Преди доста години животът бе друг. Имаше повече движение и по-малко приказки. Сега, дори хората по-малко се движат, с телефони повече се занимават. Предлагам следното: разделяте се на 6 групи и започвате да се състезавате. Аз и един вас, който ще избера, ще бъдем съдии.

Замълчали петлите, благодарили на Шаро и си тръгнали. Малко след това започнал бурен дебат. Всички били съгласни за игрите и разделянето на групи, но ... Колко да бъдат групите бил основният нерешим проблем. Всеки си правел сметката, ако бъде прието неговото предложение естествено той трябва да стане главен съдия. Решението на колко групи ще се разделят птиците нека го оставим на петлите. Друга задача е по-интересна - кое е най-малкото число, което отговаря на следните условия - при целочислено деление на 2, 3, 4, 5, и 6 числото винаги да има целочислен остатък 1?

Разгледайте други реализирани примерни проекти, за които е ползвана подобна логическа структура на логически обекти и/или приложени сходни алгоритми: задачи от работа, изчисляване на процент, задачи от смеси и сплави, пропорционално делене, китайска задача за остатъците.