равностранен конус

Под равностранен конус се рабира конус с осно сечение равностранен триъгълник. За изчисляване елементи на такъв конус е необходим един линеен размер, повърхнина или обем.

Характерни особености:

в триъгълника, представящ осно сечение, вътрешните ъгли са равни на 60⁰ и перпендикулярите от връх към срещулежаща страна са едновременно ъглополовящи и медиани;

вписаната сфера в равностранния конус (в осното сечение окръжност) и описаната сфера са концентрични и центърът им лежи на височина към основата на разстояние 2/3 от върха на осното сечение.

Междуцентровото разстояние се изчислява по формула на Ойлер.

В разгледаните основни задачи за равностранен конус по въведени стойности на два елемента повърхнина, обем, радиус, образувателна/височина на осно сечение се изчисляват стойности за останалите елементи на конуса.

Изчислете елементите на равностранен конус по въведени стойности за R - радиус на основата на конуса.

образувателна на конуса L = 2*R - от свойство на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30⁰;

H = R*tan(60⁰);

околна повърхнина So = π*R*L;

пълна повърхнина на конус Sp = So + π*R²;

обем на конус V = (π*H*R²)/3;

радиус на описаната сфера около конуса Ro = L/(2*sin(α)) - от синусова теорема;

Изчислете елементите на равностранен конус по въведени стойности за L - образувателна на конуса и бедро на равнобедрения триъгълник в осното сечение.

радиус на основата на конус R = L/2 - от свойство на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30⁰;

височина на конус H = L*sin(60⁰);

околна повърхнина So = π*R*L;

пълна повърхнина на конус Sp = So + π*R²;

обем на конус V = (π*H*R²)/3;

радиус на описаната сфера около конуса Ro = L/(2*sin(α));

Изчислете елементите на равностранен конус по въведени стойности за H - височина на конус и височина в осното сечение.

радиус на основата на конус R = H/tan(60⁰);

образувателна на конус L = H/sin(60⁰);

околна повърхнина So = π*R*L;

пълна повърхнина на конус Sp = So + π*R²;

обем на конус V = (π*H*R²)/3;

радиус на описаната сфера около конуса Ro = L/(2*sin(α));

Изчислете елементите на равностранен конус по въведени стойности за So - околна повърхнина.

замества се L =2*R - от свойство на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30⁰; от формулата So - околна повърхнина So = π*R*L = 2*π*R² и се изчислява

радиус на основата на конус R = √(So/(2*π);

образувателна на конуса L= 2*R;

височина на конус H = R*tan(60⁰);

пълна повърхнина на конус Sp = So + π*R²;

обем на конус V = (π*H*R²)/3;

радиус на описаната сфера около конуса Ro = L/(2*sin(α));

Изчислете елементите на равностранен конус по въведени стойности за S - пълна повърхнина на конуса

замества се L =2*R - от свойство на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30⁰;

от формулата Sp - пълна повърхнина на конуса Sp = So + π*R² = π*R*( R + L) = 3*π*R² и се изчислява:

радиус на основата на конус R = √(S/(3*π));

образувателна на конус L= 2*R;

височина на конус H = R*tan(60⁰);

околна повърхнина So = π*R*L;

обем на конус V = (π*H*R²)/3;

радиус на описаната сфера около конуса Ro = L/(2*sin(α));

Изчислете елементите на равностранен конус по въведени стойности за V - обем на конус.

замества се H = R*tan(60⁰) - от свойство на равностранен триъгълник;

от формулата V - обем на конус V = (π*H*R²)/3 = (π*R*tan(60⁰)*R²)/3 се изчислява R;

образувателна на конуса и бедро на равнобедрения триъгълник в осното сечение L = 2*R - от свойство на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30⁰;

височина на конус H = R*tan(60⁰);

околна повърхнина So = π*R*L;

пълна повърхнина на конус Sp = So + π*R²;

радиус на описаната сфера около конуса Ro = L/(2*sin(α));

Изчислете елементите на равностранен конус по въведени стойности за Ro - радиус на описаната сфера около конуса и описана окръжност около осното сечение.

от формула за радиус на описаната сфера около конуса и описана окръжност около осното сечение Ro = L/(2*sin(α)) се изчислява:

образувателна на конус L = 2*Ro*sin(α) - от синусова теорема

радиус на основата на конус R = L/2 - от свойство на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30⁰;

височина на конус H = R*tan(60⁰);

околна повърхнина So = π*R*L;

пълна повърхнина на конус Sp = So + π*R²;

обем на конус V = (π*H*R²)/3;

Изчислете елементите на равностранен конус по въведени стойности за Rv - радиус на вписаната сфера в конуса и осното сечение.

от формули за радиус на вписана сфера в конуса Rv = 2*S/P; лице на осно сечение Ss = L²*sin(60⁰)/2; периметър на осно сечение P = 3*L; Rv = (2*L²*sin(60⁰)/2)/(3*L) = L*sin(60⁰)/3 и се изчислява

образувателна на конус L = 3*Rv/sin(60⁰);

радиус на основата на конус R = L/2 - от свойство на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30⁰;

височина на конус H = R*tan(60⁰);

околна повърхнина So = π*R*L;

пълна повърхнина на конус Sp = So + π*R²;

обем на конус V = (π*H*R²)/3;

радиус на описаната сфера около конуса Ro = L/(2*sin(α));

Частта от конус, заключена между основата му и нейно успоредно сечение, се нарича пресечен конус.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: конус, обем на конус, пресечен конус.