правоъгълник

Геометричната фигура правоъгълник е изпъкнал четириъгълник с успоредни срещулежащи страни и равни ъгли.

Свойства на правоъгълник:

за правоъгълни всички вътрешни ъгли и съответните им прилежащи външни ъгли са равни - прави ъгли;

за произволен правоъгълник всяка двойка срещулежащи страни са успоредни и равни - от свойство на успоредник;

в правоъгълник всяка двойка съседни страни са взаимно перпендикулярни, има прав ъгъл между тях - това дава и името му;

правоъгълникът е четириъгълник с равни диагонали; 

всеки диагонал в правоъгълника го дели на два еднакви правоъгълни триъгълника;

диагоналите в правоъгълник се разполовяват от пресечната си точка;

от частите на двата  диагонала и страните на правоъгълника могат да се построят 4 равнобедрени триъгълника, два по два еднакви, с общ връх пресечната точка на диагоналите, бедра с дължина половината от дължината на диагонала и основа страна на правоъгълника, с дължина на височина към основата равна на половината от съседната страна на правоъгълника;

в правоъгълник двойката бимедиани са взаимно перпендикулярни - бимедиана в четириъгълник свързва средите на двойка срещулежащи страни;

в правоъгълник бимедианите се разполовяват от пресечната си точка;

в правоъгълник двойката диагонали и двойката бимедиани имат обща пресечна точка - двойката диагонали и двойката бимедиани са конкурентни;

в правоъгълник петите на медианите са върхове на ромб  - медиана в правоъгълник;  - от теорема на Вариньон;

ако съществува описана окръжност около многоъгълник, то нейният център е общата пресечна точка на симетралите на страните му;

в правоъгълник симетралите към всяка двойка прилежащи страни имат обща пресечна точка - център на описаната окръжност;

описаната окръжност около правоъгълника има за център пресечната точка на диагоналите;

ако съществува вписана окръжност в многоъгълник, то нейният център е общата пресечна точка на ъглополовящите на ъглите му;

в общия случай за правоъгълник няма вписана окръжност, изключението е квадрат (теорема на Питот: описаният четириъгълник има равни суми от дължини на срещулежащите си страни);

ъглополовящите на вътрешните ъгли нямат обща пресечна точка. Една от основните задачи (ъглополовяща в правоъгълник) е извеждане доказателство, че пресечните точки на вътрешните ъглополовящи са върхове на правоъгълник - основава се на свойство на успоредник, че сумата от два съседни ъгъла е 180⁰. Два съседни върха на правоъгълник и пресечната точка на двойка ъглополовящи с начало същите върхове образуват равнобедрен правоъгълен триъгълник с ъгли при основата 45⁰. Вътрешните ъглополовящи в правоъгълник/успоредник са взаимно перпендикулярни, по аналогия с ъглополовящите на външните ъгли за една и съща страна в триъгълник.

златен правоъгълник е определение за правоъгълник с отношение между дължини на страни a/b = b/(a – b) - отношението има стойност ирационално число 1.618... (златно сечение);

произволна точка от правоъгълник има константна сума от разстояния до страните на същия правоъгълник - задачата успоредник и точка.

права, успоредна на двойка страни на правоъгълник и преминаваща през пресечната точка на диагоналите му, дели правоъгълника на два еднакви правоъгълника;

двойка успоредни страни на правоъгълник, отсичат от права преминаваща през пресечната точка на диагоналите му отсечка, която се разполовява от същата точка.

Алгоритъмът за изчисляване на ориентирано лице е приложим при изчисляване лице на правоъгълник.

Общи свойства между правоъгълник и успоредник:

имат две двойки успоредни и равни страни;

диагоналите са ос на симетрия и разделят фигурата на два еднакви триъгълника;

диагоналите се разполовяват от пресечната си точка;

Разлики между правоъгълник и успоредник:

всеки правоъгълник е успоредник, обратното твърдение е невярно;

в правоъгълника двата диагонала са с равни дължини, в успоредника не;

в правоъгълника 4-вътрешни ъгъла са равни, в успоредника не;

правоъгълник може да се впише в окръжност, успоредникът не;

формули за изчисляване елементи на правоъгълник:

страни на правоъгълник с не непременно равна дължина a ≤ b;

диагонал на правоъгълника и диаметър на описаната окръжност: d = √(a² + b²) - от теорема на Питагор;

периметър на правоъгълник: P=2*(a + b);

лице на правоъгълник: S = a*b;

лице на правоъгълник: S = d²*sin (γ)/2 - извежда се от формулата за лице на успоредник, но в правоъгълник двата диагонала са с равна дължина;

лице на правоъгълник: S = (a² + b²)*sin (γ)/2 - извежда се от предходната формула;

Разгледаните примери и задачи свързани с правоъгълник ползват предимно: тригонометрични функции, теорема на Питагор, косинусова теорема.

От успоредник може да се построи правоъгълник чрез двойка височини с начало срещулежащи върхове. Ако петите на височините лежат върху страна на успоредника, то той покрива изцяло правоъгълника. Ако петите на височините лежат върху продълженията на страните на успоредника, то правоъгълникът покрива изцяло успоредника. Това е алгоритъм на задачите: 

за изчисляване лице на успоредник чрез лице на правоъгълник и два еднакви правоъгълни триъгълника - успоредникът покрива правоъгълника 

за изчисляване лице на покриващ правоъгълник. 

Задачата за построяване на вписан, в правоъгълник, триъгълник с максимално лице изисква използване на едната страна на правоъгълника (два върха на триъгълника) и избор на произволна точка от срещулежащата страна. Ако лицето на правоъгълника е S, то лицето на така вписания триъгълник е S/2 - височината на триъгълника е равна на прилежащата страна на правоъгълника.  

Задачата за построяване на покриващ правоъгълник е от областта на изчислителната геометрия.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули  от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: диагонал в правоъгълник, периметър на правоъгълник, ъглополовяща в правоъгълник, лице на правоъгълник.