ортоцентър

Ортоцентър е пресечна точка на височините в триъгълник.

Свойства на ортоцентър:

за  остроъгълен триъгълник ортоцентърът принадлежи на триъгълника и на неговата описана окръжност;

за правоъгълен триъгълник ортоцентърът съвпада с върха на правия ъгъл и лежи на описаната окръжност;

за  тъпоъгълен триъгълник ортоцентърът е извън триъгълника и неговата описана окръжност;

ако в остроъгълен триъгълник ABC се построят трите триъгълника HAB, HBX, HCA (два различни върха и неговия ортоцентър т.H), то 3-те описани окръжности около тези триъгълника се пресичат в обща точка;  ортоцентъра H и имат еднакви радиуси - теорема на Johnson (Johnson's theorem);

правата на Ойлер е инцидентна с ортоцентъра в същия не равностранен триъгълник; 

ортоцентърът на референтния триъгълник е и ортоцентър в съответния триъгълник на Ойлер;

ортоцентърът на референтния триъгълник е и ортоцентър в съответния вписан триъгълник с височини;

за произволен триъгълник центъра на неговата 9-точкова окръжност разполовява отсечката център на описана окръжност: ортоцентър;

9-точковата окръжност разполовява отсечката от всяка височина заключена между ортоцентър и връх на триъгълника;

ако в произволен триъгълник ABC се построят височините AD, BE, CF и ортоцентъра т.Н, то всеки от вписаните триъгълници ABH, BCH, ACH има същите пети на височини и ортоцентър -  тези четири точки образуват ортоцентрична система; 

съществува равенство на произведенията от дължини на отсечките, на които ортоцентъра дели всяка височина: AH*HD = BH*HE = CH*HF;

сумата от отношенията между отсечките ортоцентър : пета на височина и връх на триъгълник-пета на височина е 1: HD/AD +HE/BE + HF/CF = 1;

сумата от отношенията между отсечките връх на триъгълник : ортоцентър и връх на триъгълник-пета на височина е 2: AD/AH + BH/BE + CH/CF = 2;

разстоянието между връх на триъгълник : ортоцентър е два пъти по-голямо от разстоянието между центъра на описаната окръжност до срещулежащата страна на този връх;

нека AD, BE, CF са височини в триъгълника ABC, тогава ортоцентърът на триъгълника ABC е център на вписаната окръжност в триъгълника DEF; 

ако от пета на височина в триъгълник се построят перпендикулярни отсечки към страните принадлежащи на срещулежащия ъгъл и перпендикулярни отсечки към другите два страни, то пресечните им точки със страните и височините са колинеарни;

страна на вписан триъгълник с височини разполовява отсечката от прилежащата ѝ височина между ортоцентър и петата на височината върху описаната окръжност;

равенства свързани с дължини на страни, радиуси и отсечки връх на триъгълник : ортоцентър:

a² + b² + c² + AH² + BH² + CH² = 12R²;

Ra + Rb + Rc + r = AH + BH + CH + 2R;

Ra² + Rb² + Rc² + r² = AH² + BH² + CH² + 4R²;

теорема за средно геометрично (Geometric mean theorem): в правоъгълен триъгълник квадратът на височината към хипотенузата е равен на произведението на проекциите (m,n) на двата катета върху хипотенузата hc² = m*n;

разстоянието център на описана окръжност : ортоцентър OH² = (1-8*cos(A)*cos(B)*cos(C))*R²;

разстоянието център на вписана окръжност : ортоцентър IH² = (r²- 2*cos(A)*cos(B)*cos(С))*2*R²;

разстояния между т.H ортоцентър и други забележителни точки в триъгълника: М - медицентър; L - точка на de Longchamps; N - център на 9-точковата окръжност; O - център на описаната окръжност.

OМ = OH/3 в триъгълник отсечката медицентър : център на описаната окръжност е с по-малка дължина от център на описаната окръжност : ортоцентър;

OL = OH - точката на Longchamps е огледално симетрична на ортоцентъра спрямо центъра на описаната окръжност;

ON = NH - центъра на 9-точковата окръжност разполовява отсечката ортоцентър-център на описаната окръжност;

ON = OH/2

в разностранен триъгълник отсечката ортоцентър : център на вписаната окръжност е с по-малка дължина от отсечката ортоцентър : център на тежестта HI<HM;

ортоцентърът има за изогонално спрегнатата точка центъра на описаната окръжност, обратното твърдение също е вярно;

ортоцентърът има за изотомично спрегната точка пресечната точка на симедианите (точка на Lemoine) в антикомплементарния триъгълник.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: височина, медиана, медицентър, права, триъгълник.