ортоцентър и конкурентни окръжности

В задачата ортоцентър и конкурентни окръжности се ползва изотомично спрегната точка (Isotomic conjugate) на ортоцентъра от същия триъгълник.

В триъгълник, изотомично спрегната точка (Isotomic conjugate) на точка, принадлежаща на същия триъгълник, се определя като пресечна точка на изотомични прави. Всяка от изотомичните прави има пресечна точка със страна на триъгълника, която е симетрично разположена на съответната чевиана спрямо средата на същата страна - петата на съответната медиана.

Начално условие:

в остроъгълен разностранен триъгълник е избрана за точка на Чева точката ортоцентър. Построени са трите изотомични отсечки - петата на всяка от тях е на еднакво разстояние от петата на медианата спрямо петата на височината от същия връх на триъгълника. Построени са окръжности, всяка от които преминава през връх на референтния триъгълник и петите на две изотомични отсечки лежащи на рамената на ъгъла със същия връх. Основния извод в задачата - трите окръжности са конкурентни, имат обща пресечна точка.

Алгоритъмът на построителната задача ортоцентър и конкурентни окръжности съдържа следните елементи:

по посочени три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

в цикъл се построява съответната медиана (с пети Ma, Mb, Mc цвят червен) към всяка от страните;

в цикъл се построява съответната височина (с пети Ha, Hb, Hc цвят зелен) към всяка от страните;

в цикъл се изчисляват координати за пресечна точка и се построява съответната изотомична права (с пети Ia, Ib, I c цвят син) към всяка от страните;

изчисляват се координати на тяхната пресечна точка - изотомично спрегната точка т.I;

в цикъл се построява поредната окръжност инцидентна с: връх на триъгълника и пети на две изотомични прави върху страните рамена на ъгъла от същия връх на триъгълника - ползват се алгоритми разгледани в намиране елементи на триъгълник;

изчисляват се координати за пресечните точки на всяка двойка окръжности

Чрез алгоритъм разстояние между две точки се извежда основното твърдение на задачата ортоцентър и конкурентни окръжности: трите окръжности имат обща пресечна точка.

В задачата педални окръжности се разглежда произволен четириъгълник ABCD, точка т.Q от него и нейните проекции върху страните и двата диагонала. Доказва се твърдението, че построените педални окръжности са конкурентни - с обща пресечна точка.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: точка, изогонално спрегната точка, ортоцентрична педална окръжност, педални окръжности, конкурентни прави и ортоцентър, поризъм на Poncelet.