вписана окръжност в триъгълник

Да се реализира проект, чрез който се осъществяват междупредметни връзки Геометрия и Информатика.

Тема на проекта: вписана окръжност в триъгълник.

В проекта, се въвеждат дължини на страни в триъгълник и се извеждат:

радиус на вписана окръжност;

дължини на отсечките, на които допирните точки на вписаната окръжност дели страните;

радиус на описана окръжност в триъгълника.

Пример: AB=5; BC=3; AC=4 Изход: Sabc = 6; R=2.5

AM = AP = 1

BM = BN = 3

CN = CP = 2

Окръжност, която се допира едновременно до всяка от страните на триъгълник се нарича вътрешно вписана или само вписана окръжност.

Центърът на вписаната окръжност в триъгълник е пресечната точка на ъглополовящите му. Доказателството, че  лицето на триъгълник S = p*r е равно на произведението от радиуса на вписаната окръжност и полупериметъра  се извежда като сума от лицата на съответните триъгълници.

Sabc =Sabo + Sbco + Saco = c*r/2 + a* r/2 +b*r/2 =(c +a + b)*r/2 = p*r

Следващите равенства се извеждат като следствие от свойство на ъглополовяща - точка от ъглополовяща е равно отдалечена от рамената на ъгъла.

AP = AM = x = p - a

BM = BN = y = p - b

CP = CN = z = p - c,

Определение: Окръжност,която се допира до една от страните на триъгълник и до продълженията на другите му две страни, се нарича външновписана окръжност за триъгълника. 

Теорема: В триъгълник ъглополовящите на външните ъгли при два върха и вътрешната ъглополовяща на ъгъла при третия връх се пресичат в една точка - центъра на съответната му външно вписана окръжност. 

Основна задача: Да се докаже, че лицето на триъгълник е равно на произведението от полупериметъра му р и радиуса r на вписаната в него окръжност, т.е S = p*r.

S = Sabc =Sabo + bco + Scao = c*r/2 + a* r/2 +b*r/2 = (c +a + b)*r/2 = p*r 

Основна задача: Страните на триъгълник АВС са АВ = с, ВС = а и СА = b. Вписаната в този триъгълник окръжност k се допира до АВ,ВС и СА съответно в точките Р,М и N. Да се докаже, че: 

AP = AM = x = p – a 

BM = BN = y = p – b 

CP = CN = z = p – c, 

Равенството S = 2*sin(α)*sin(β)*sin(γ)*R² може да се докаже чрез синусова теорема и равенствата  S = 0.5*b*c*sin(α) = 0.5*a*c*sin(β) =  0.5*a*b*sin(γ).

Равенството a*b*c / (4*p) = r*R може да се докаже от равенството S = a*b*c/(4*R), където R е радиус на описана окръжност, а r - радиуса на вписана окръжност в триъгълник

Равенства за радиуси на вписана окръжност в триъгълник:

ab + bc + ca = p² + (4R + r)*r

a² + b² + c² = 2p² - 2*(4R+r)*r

OA*OB*OC = 4*R*r². където т.O е център на вписана окръжност;

Ra + Rb + Rc + r = AH + BH + CH + 2R, където т.H - ортоцентър на триъгълника;

AH² = 4R² - a², BH² = 4R² - b², CH² = 4R² - c², където т.H е ортоцентър на триъгълника;

Ra = r + Rb + Rc - 4*R*cos(α); Rb =  r + Ra + Rc - 4*R*cos(β); Rc =  r + Ra + Rb - 4*R*cos(γ);

Ra/(b*c) + Rb/(a*c) + Rc/(a*b) = 1/r - 1/(2*R)

Равенства свързани с правоъгълен триъгълник:

Ra + Rb + Rc + r = AH + BH + CH + 2*R - само за остроъгълен/правоъгълен триъгълник 

Ra + Rb + Rc + r = a + b + c -  само за за правоъгълен триъгълник 

p = R + 2*r -  само за за правоъгълен триъгълник 

Разгледайте други реализирани примерни проекти, за които е ползвана подобна логическа структура на графичните обекти и/или приложени сходни алгоритми: вписана окръжност в правоъгълен триъгълник, правоъгълен триъгълник, височина, тригонометрични функции, вписани окръжности в триъгълник.