ъгли в триъгълник

Вътрешните ъгли в триъгълника BAC, ABC, BCA определят неговия вид: остроъгълен, правоъгълен и тъпоъгълен.

Всеки вътрешен ъгъл има за съседен ъгъл двойка външни ъгли.

На чертежа са представени две двойки външни ъгли. Всяка от тях е с общ връх и имат рамена продълженията на съответните страни.

ABD = EBC = A + C

BCF = ACG = A + B

Отношението към всяка двойка съседни ъгли определя еднозначно вида на триъгълника. Ако всеки външен ъгъл е по-голям от съответния му вътрешен ъгъл, то тогава триъгълника е остроъгълен. Ако има едно равенство, то триъгълникът е правоъгълен.

Видът на триъгълника може да бъде определен както чрез стойност на тригонометрични функции, така и чрез суми от квадрата на дължините.

Вътрешна ъглополовяща или по-краткото ъглополовяща дели съответния вътрешен ъгъл на две равни части.

Пресечната точка на трите ъглополовящи дава център на вписаната окръжност в триъгълника.

Външната ъглополовяща дели външен ъгъл на триъгълника на две равни части.

Пресечната точка на две външни ъглополовящи с общо рамо страна на триъгълника определя центъра на външно вписаната окръжност в триъгълника. На чертежа двете външни ъглополовящи са BQ, CQ.

Трисектриса дели ъгъл на триъгълника на 3 равни части - виж теорема на Морли.

При изчисляване на ъгли в триъгълник чрез тригонометрични функции и връзка с елементи на референтния триъгълник са ползвани следните означения:

A, B, C - размер на вътрешните ъгли;

p - полупериметър на триъгълник;

S - лице на триъгълник;

R - радиус на описаната окръжност;

r - радиус на вписаната окръжност;

Равенства между отношения на елементи от триъгълник и тригонометрични функции за вътрешни ъгли в триъгълник:

sin (A)*sin (B)*sin (C) = S/(2*R²);

sin (A/2)* sin (B / 2)*sin (C / 2) = r/(4*R);

cos (A/2)*cos (B/2)*cos (C/2) = p/(4*R);

sin(A) = 2*S/(bc); sin(B)=2*S/(a*c); sin(C) = 2*S/(a*b);

sin(A) = hb/c = hc/b; sin(B) = ha/c = hc/a; sin(C) = ha/b = a/hb;

sin² (A/2) = (p - b)*(p - c)/(b*c); sin² (B/2) = (p - a)* (p - c)/(a*c); sin² (C/2) = (p - a)*(p - b)/(a*b);

cos(A) = (r - Ra + Rb + Rc)/(4*R); cos (B) = (r + Ra - Rb + Rc)/(4*R); cos(C) = (r + Ra + Rb - Rc)/( 4*R);

cos² (A/2) = p*(p - a) /(b*c); cos² (B/2) = p*(p - b) /(a*c); cos² (C/2) = p*(p - c) /(a*b);

cos² (A/2) = (Rb + Rc)/( 4*R); cos² (B/2) = (Ra + Rc)/(4*R); cos² (C/2) = (Ra + Rb)/(4*R);

tan²(A/2) = (p - b)*(p - c)/(p*(p - a)); tan²(B/2) = (p - a)*(p - c)/(p*(p - b)); tan²(C/2) = (p - a)*(p - b)/(p*(p - c));

cos (A/2)*sin (B/2)*sin(C/2) = (p - a)/(4*R); sin (A/2)*cos (B/2)*sin (C/2) = (p - b)/(4*R); sin(A/2)*sin(B/2)*cos(C/2) = (p - c)/(4*R);

sin((C - B)/2)/cos(A/2) = (b - c)/a; sin ((A - C)/2)/cos (B/2) = (c - a)/b ; sin((A-B)/2)/cos(C/2) = (b-a)/c;

cos((B - C)/2)/sin(A/2) = (b + c)/a; cos ((C - A)/2)/sin(B/2) = (c + a)/b; cos((A - B)/2)/sin(C/2) = (a+b)/c

Интересни отношения между елементи на триъгълник са разгледани в теоремите:

косинусова теорема: квадратът на страна в произволен триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на същите страни и косинус от ъгъла, заключен между тях. Формулата най-често се представя като: a² = b² + c² - 2bc*cos(A); b² = a² + c² - 2ac*cos(B); c² = a² + b² - 2ab*cos(C);

синусова теорема: в произволен триъгълник от равнината отношението между дължина на страна и стойност на синус от срещулежащия й ъгъл е равно на диаметъра на описаната окръжност около триъгълника. Формулата най-често се представя като: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. За правоъгълен триъгълник едно от представените равенства за синусова теорема е следствие от частен случай от теорема на Талес за правоъгълен триъгълник.

теорема на Менелай: ако в триъгълника ABC права пресича продължението на страната AB в т. F, страната BC в т. D, а страната AC в т.E, тогава: (AF/BF)*(BD/DC)*(CE/EA) = 1.

теорема на Стюарт (Stewart's theorem) се отнася за триъгълник и отношение между дължините на страните, чевиана и отсечките на които се разделя срещулежащата страна. Получават се три отделни случая, петата на чевианата лежи на срещулежащата страна или на едно от продълженията ѝ.

теорема на van Obel за триъгълник (van Obel, van Aubel), втора теорема на van Obel : ако в триъгълника ABC са построени чевианите AD, BE, CF, с обща пресечна точка K, то е в сила равенството: AK/KD = AF/FB + AE/EC;

теорема на Карно (Carnot's theorem): сумата на разстоянията от центъра на описаната окръжност до страните на триъгълника е равна на сумата на радиусите на описаната и вписаната окръжност в същия триъгълник;

теорема на Морли (Morley's theorem): пресечната точка на трисектрисите на вътрешните ъгли в произволен триъгълник се явяват върхове на равностранен триъгълник;

Решени основни задачи за ъгли в триъгълник - изчисляване на лице и периметър, център и радиус на описана окръжност.

Изчислете елементите на триъгълник по: височина hc към страна c, прилежащ ъгъл A към страната и отношение Q = A/B с другия прилежащ ъгъл B.

ъгли B = Q/A; C = π - A - B;

дължини на страни: a = hc/sin(B); b = hc/sin(A);

радиус на описаната окръжност R = a/(2*sin(A));

страна c = 2*sin(C)*R;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

лице на триъгълник: S = c*hc/2;

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;

Изчислете елементите на триъгълник по: височина hc ъгъл от същия връх C и отношение с прилежащ ъгъл A: Q = C/A.

ъгли A = Q/C; B = π - A - C;

дължини на страни: b = hc/sin(A); a = hc/sin(B);

радиус на описана окръжност R = a/(2*sin(A));

страна c = 2*sin(C)*R;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

лице на триъгълник: S = c*hc/2;

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;

Изчислете елементите на триъгълник по: лице S, ъгъл A и отношение A/B = Oa/Ob с ъгъл B Oa/Ob.

Изчислява се ъгъл B = a*Ob/Oa; C = π - A - B;

от лице на триъгълник S = sin(A)*sin(B)*sin(C) *2*R² се изчислява радиус на описаната окръжност R = √ S/(2*sin(A)*sin(B)*sin(C)));

дължини на страни: a = 2*R*sin(A); b = 2*R*sin(B); c = 2*R*sin(C);

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

височини в триъгълник: ha=2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

Изчислете елементите на триъгълник по: дължина на височина hc и отношение на ъгли Oa:Ob:Oc.

ъгли k = Oa+Ob+Oc; A = pi/(k*Oa); B = pi/(k*Ob); C = pi/(k*Oc);

дължини на страни: a = hc/sin(B); b = hc/sin(A);

радиус на описана окръжност R = a/(2*sin(A);

страна c = 2*R*sin(C);

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

лице на триъгълник: S = c*hc/2;

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;

Изчислете елементите на триъгълник по: радиус на описаната окръжност R, ъгъл A и отношение между двата прилежащи ъгъла Oa:Ob.

От системата уравнения: A+B = π - C и A/B = Oa:Ob се изчисляват ъглите A, B;

дължини на страни: a = 2*R*sin(A); b = 2*R*sin(B); c = 2*R*sin(C);

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

лице на триъгълник: S = a*b*c/(4*R);

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c

Изчислете елементите на триъгълник по: страна c, срещулежащ ъгъл С и отношение между два прилежащи ъгъла Oa:Ob.

от системата уравнения: A+B = π - C и A/B = Oa:Ob се изчисляват ъглите A, B;

радиус на описана окръжност R = c/(2*sin(C));

дължини на страни: a=2*R*sin(A); b=2*R*sin(B);

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

лице на триъгълник: S = a*b*c/(4*R);

височини в триъгълник: hc=2*S/c; ha=2*S/a; hb = 2*S/b; периметър P = a+b+c

Изчислете елементите на триъгълник по: страна c, прилежащ ъгъл A и отношение между ъглите B:C.

от системата уравнения: A+B = π - C и A/B = Oa:Ob се изчисляват ъглите A, B;

радиус на описана окръжност: R = c/(2*sin(C));

дължини на страни: a = 2*R*sin(A); b = 2*R*sin(B);

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

лице на триъгълник: S = a*b*c/(4*R);

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c; периметър P = a+b+c

Изчислете елементите на триъгълник по: ъгъл С, височина от същия връх hc, и отношение между другите два ъгъла А:B.

от системата уравнения: A+B = π - C и A/B = Oa:Ob се изчисляват ъглите A, B;

дължини на страни: b = hc/sin(A); a = hc/sin(B);

радиус на описаната окръжност R = a/(2*sin(A);

страна c= 2*R*sin(C));

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

лице на триъгълник: S = c*hc/2;

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;

периметър P = a+b+c

Изчислете елементите на триъгълник по: дължина m на средна отсечка MN свързваща средите на страните AC, BC и сума от техните дължини n = a + b.

дължина на страна: c = 2*m;

полупериметър на триъгълник: p = m + 0.5*n;

лице на триъгълник: S = √(p*p-a)*(p-b)*(p-c)) - липсват данни;

височина: hc = 2*S/c;

радиус на вписана окръжност: r = S/p;

радиус на външно вписана окръжност: Rc = S/(p - c)

Триъгълникът не е напълно определен - входните данни са дължина на страна и сума от две дължини на другите две страни.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: тригонометрични функции, ъглополовяща в триъгълник, отношение между ъгли в триъгълник, отношения в триъгълник.