Да се изчислят V - обем на паралелепипед и S - пълна повърхнина по въведени a,b - дължини на основни ръбове, P - сума от дължини на основни и околни ръбове и f - телесен диагонал.
от уравнението P = 4*(a + b + c) следва (a + b + c) = P/4;
пълна повърхнина: S = 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b = (a+ b + c)² - (a² + b² + c²) = (P/4)² - f²;
съставя се система от три уравнения с три неизвестни a,b,c:
a + b + c = P/4;
от пълна повърхнина: (a+b)*2*c + 2*a*b = (P/4)² - f²;
от уравнение за обем на паралелепипед a*b*c = V;
a + b = P/4 - c;
a + b = ((P/4)² - f² - 2*a*b)/(2*c);
P/4 - c = ((P/4)² - f² - 2*a*b)/(2*c);
P/4 - c = ((P/4)² - f² - 2*V/c)/(2*c);
(P/4 - c )*(2*c) = (c*(P/4)² - c*f² - 2*V)/c;
(P/4 - c )*(2*c²) = (c*(P/4)² - c*f² - 2*V);
2*c^3 - P*c²/2 + ((P/4)² - f² )*c - 2*V = 0;
Решава се кубичното уравнение с неизвестно дължина на околен ръб: c и се взема положителния корен;
Съставя се система от две уравнения с две неизвестни a, b:
a + b = P/4 - c;
a*b = V/c;
от корените на полученото квадратно уравнение a + V/(a*c) = = P/4 - c; се взема положителния корен за неизвестното a;
основен ръб: a;
основен ръб: b = P/4 - c - a;
от вече изчислената стойност за дължината на трите ръба на правоъгълния паралелепипед a, b и c се изчисляват:
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
пълна повърхнина: S = So + 2*a*b;
Да се изчисли e - диагонал на основата и f - телесен диагонал по въведени So - околна повърхнина, S - пълна повърхнина и V - обем на паралелепипед.
от уравнението S = So + 2*a*b се извежда a*b = 0.5*(S - So);
от V = a*b*c следва c = V/(a*b) = V/(0.5*(S - So));
дължина на околен ръб: c = V/(0.5*(S - So));
от уравнението So = 2*(a+b)*c следва (a+b) = So/(2*c);
съставя се система от две уравнения с две неизвестни a,b:
a + b = So/(2*c);
a*b = 0.5*(S - So); b = (S - So)/(2*a)
представената стойност се замества и се решава квадратното уравнение:
a + (S - So)/(2*a) = So/(2*c);
2*c*a² - So*a + c*(S - So) = 0;
от вече изчислената стойност за основен ръб a изчисляват:
основен ръб: b = V/(a*c);
сума от дължините на околни и основни ръбове: P = 4*(a+ b + c);
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
Да се изчислят e - диагонал на основата и f - телесен диагонал по въведени So - околна повърхнина, S - пълна повърхнина и P - сума от дължини на основни и околни ръбове на паралелепипед.
от уравнението P = 4*(a + b + c) се извежда c = P/4 - (a + b);
замества се в уравнението So = 2*(a+b)*c = 2*(a+b)*(P/4 - (a + b));
So = 2*(a+b)*(P/4 - (a + b)); замества се m = a+b;
2*m*P/4 - 2*m*m - So = 0;
2*m² - 0.5*P*m + So = 0;
решава се квадратното уравнение с неизвестно m = a+b;
съставя се система от две уравнения с две неизвестни a,b;
a+b = m; - на положителния корен на квадратното уравнение;
a*b = 0.5*(S - So);
a + 0.5*(S - So)/a = m;
a² - m*a + 0.5*(S - So) = 0;
взема се положителния корен за основен ръб: a;
основен ръб: b = m - a;
дължина на околен ръб: c = P/4 - (a + b);
обем на паралелепипед: V = a*b*c;
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал: f = √(e² + c²).
Да се изчислят a,b,c основни и околен ръб по въведени S - пълна повърхнина, V - обем на паралелепипед и P - сума от дължини на основни и околни ръбове.
от V = a*b*c следва b*c = V/a;
от P = 4*(a + b + c) следва b + c = P/4 - a;
от S = 2*(a+b)*c + 2*a*b следва 2*a*c + 2*b*c + 2*a*b = 2*a*(b + c) + 2*V/a;
използват се следствията от уравненията за V, P;
S = 2*a*(P/4 - a) + 2*V/a;
a*P/2 - 2*a² + 2*V/a - S = 0; НОК = 2*a;
a²*P - 4*a²*a + 4*V - 2*a*S = 0;
(P-4*a)*a² - 2*S*a + 4*V = 0;
решава се кубичното уравнение с неизвестно a - основен ръб на паралелепипед;
решава се системата уравнения с неизвестни b,c;
b*c = V/a;
b+c = P/4 - a;
Изчислените стойности за дължини на основен и околен ръб b,c се ползват за изчисляване на:
диагонал на основата: e = √(a² + b²);
телесен диагонал: f = √(e² + c²);
околна повърхнина: So = 2*(a+b)*c;
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: паралелепипед, диагонал на паралелепипед, повърхнина на паралелепипед.