точка на конкурентност

Точка на конкурентност (concurrent point, point of concurrency) е обща пресечна точка на три и повече прави.

Примери за точка на конкурентност са множество забележителни точки в триъгълника:

медицентър, център на тежестта - пресечна точка на медианите;

ортоцентър - пресечна точка на височините;

център на вписана окръжност в триъгълник - пресечната точка на ъглополовящите;

център на описана окръжност около триъгълник - пресечната точка на симетралите;

точка на Чева - за триъгълника ABC и точките A', B', C', които лежат съответно на страните BC, Ac, AB и не съвпадат с върховете на триъгълника. Правите AA', BB', CC' се пресичат в обща точка тогава и само тогава, когато е в сила равенството:(AC')*(BA')*(CB') = (C'B)*(A'C)*(B'A)

точка на Werier - обща пресечна точка на правите инцидентни с връх на триъгълника и допирната точка на съответната полувписана окръжност с описаната окръжност около референтния триъгълник; както и обща точка на правите инцидентни с допирните точки на всяка полувписана окръжност със страните на референтния триъгълник

точка на Аполоний - пресечна точка на отсечките свързващи връх на референтния триъгълник с допирната точка на съответната срещулежаща външно вписана окръжност с тяхната обща покриваща окръжност т.н. окръжност на Аполоний.

Понятието точка на конкурентност е валидно и за обща пресечна точка на три и повече окръжности. На чертежа е показана точка на Фойербах, явяваща се точка на конкурентност за следните окръжности: вписаната окръжност (зелен цвят); окръжността (син цвят), инцидентна с петите на същите ъглополовящи и 9-точковата окръжност (червен цвят) - на чертежа са маркирани допирните точки с външно вписаните окръжности. 

Примери за теореми, доказващи съществуване точка на конкурентност спрямо окръжности: 

теорема на Kosnita - ако описаната около произволен триъгълник ABC окръжност е с център O, а описаните окръжности около триъгълниците OBC, OCA и OAB са съответно с центрове A’, B’ и C’, то отсечките AA', BB' и CC' се пресичат в обща точка, наречена точка на Коснита. 

теорема на Miquel-Shtajner - ако в четириъгълник (без успоредни страни) се построят пресечните точки на двете двойки срещулежащи страни и 4 окръжности, всяка от които минава през крайните точки на страна и пресечната точка на другата двойка срещулежащи страни, то окръжностите са инцидентни с обща точка на конкурентност. 

теорема на Pivot (Pivot theorem) - ако върху всяка от страните на триъгълника ABC се избере точка, лежаща между два върха и се построят три окръжности преминаващи през две от избраните точки и връх от триъгълника, то трите окръжности са инцидентни с обща точка на конкурентност. 

теорема на Salmon (theorem Salmon - ако през точка от окръжност се построят три хорди и за всяка от тези хорди се построи нова окръжност с диаметър дължината на съответната хорда, то втората пресечна точка за всяка двойка от тези окръжности е инцидента с една и съща права. 

радикален център на Yiu - точка на конкурентност на трите окръжности, преминаващи през връх на триъгълника и петите на рефлективните височини.

точка на Elkies - точка на конкурентност на три конкурентни окръжности с равни радиуси вписани в триъгълник.

За построителната задача точка на конкурентност е  избран вариант на точка на Фоербах. Алгоритъмът  може да бъде представен със следните стъпки: 

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за връх на референтния триъгълник;

в цикъл се изчисляват координати за пета на поредната ъглополовяща - на чертежа в цвят син; 

изчисляват се координати за т. O, точка на конкурентност на трите ъглополовящи - център на вписаната окръжност, на чертежа с цвят зелен;

построява се вписаната окръжност - на чертежа с цвят зелен;

изчисляват се координати за център, дължина на радиус и се построява окръжност по 3 точки пети на ъглополовящите - на чертежа с цвят син;

изчисляват се координати за център, дължина на радиус и се построява 9-точковата окръжност - на чертежа с цвят червен, точките със същия цвят са допирните точки на съответната външно вписана окръжност с 9-точковата окръжност;

изчисляват се координати за точка на конкурентност на трите окръжности - по алгоритъм взаимно положение на окръжности.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжности и хорди, окръжност, конкурентни прави, конкурентни прави и ортоцентър, фигура, обща точка.