вписана окръжност в правоъгълен триъгълник

Основни задачи за вписана окръжност в правоъгълен триъгълник са:

За правоъгълен триъгълник ABC с дължина на катети BC = a, AC = b, хипотенуза AB = c е вписана окръжност с радиус r. Да се докаже равенството:

S = P*r/2

Лицето на правоъгълния триъгълник АВС се представя като сума:

Sabc = Sbco + Saco + Sabo;

Sabc = a*r/2 + b*r/2 + c*r/2;

Sabc = (a + b + c)*r/2;

S = P*r/2;

За правоъгълен триъгълник ABC с дължина на катети BC = a, AC = b, хипотенуза AB = c е вписана окръжност с радиус r. Да се докаже равенството:

r = (a + b - c)/2;

От точка външна за окръжност могат да се построят две допирателни с равна дължина.

периметърът може да бъде представен Р: a + b + c = a - r + r + b - r + r + b - r + a - r;

хипотенуза AB: c = a + b - 2*r;

радиус на вписаната окръжност: r = (a + b - c)/2;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: Р периметър на триъгълника и r - радиус на вписаната окръжност. Да се изчислят страните на триъгълника.

радиус на вписана окръжност в правоъгълен триъгълник:  r = (a + b - c)/2;   c = a + b - 2*r

P = a +b + c;   2*r = a + b - c;     P - 2*r = 2*c

изчислява се дължина на хипотенуза АВ: c = P/2 - r;

радиус на описана окръжност: R = c/2;

a + b = P - c = P - P/2 + r = P/2 + r;

(a + b)² = (P/2 + r)²;

a² + b² + 2*a*b = (P/2 + r)²

a² + b² + 2*a*b  - c² = (P/2 + r)² - c²;

2*a*b = (P/2 + r)² - c²

2*a*b = (P/2 + r)² - (P/2 - r)²

2*a*b = 2*P*r;

стойността a = P/(b*r)  се замества в равенството: (a + b) = (P/2 + r);

 P/(b*r) + b = P/2 + r;

r*b² - b*r*(P/2 + r) + P = 0

за дължина на катет AC = b се взема положителния корен на квадратното уравнение;

изчислява се дължина на катет ВС: a = P/(b*r);

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: Р периметър на триъгълника и R - радиус на описана окръжност. Да се изчислят страните на триъгълника.

P = a + b + c;

дължина на хипотенуза АВ: c = 2*R;

a + b = P - c;

(a + b)² = (P - c)²;

a² + 2*a*b + b² = P² -2*P*c + c²;

a*b = (P² - 2*P*c)/2

замества се a = P - c - b;

(P - c - b)*b =  (P² - 2*P*c)/2;

b² - b*(P -c) +  (P² - 2*P*c)/2 = 0

решава се квадратното уравнение с неизвестно b и се взема положителната стойност за дължина на катет АС;

дължина на катет ВС: a = P - c - b;

радиус на вписана окръжност: r = (a + b - c)/2;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: S - лице на триъгълника и R - радиус на описаната окръжност. Да се изчислят страните на триъгълника.

дължина на хипотенуза АВ: c = 2*R - от теорема на Талес за правоъгълен триъгълник;

S = a*b/2;

от c² = a² + b² - теорема на Питагор;

(a+b)² = a² + 2*a*b + b² = c² + 4*S;

a + b = √(c² + 4*S);

изчислява се f =  √(c² + 4*S);

a = f - b;

замества се в уравнението:  a*b = 2*S;

(f -b)*b = 2*S;

b² - 2*f*b +2*S = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно b и се взема положителния корен;

дължина на катет ВС: a = f - b;

радиус на вписана окръжност: r = (a + b - c)/2;

За правоъгълен триъгълник АВС са въведени стойности за: лице Sabc, r - радиус на вписаната окръжност. Да се изчислят страните на триъгълника.

радиус на вписана окръжност в правоъгълен триъгълник:  r = (a + b - c)/2;   c = a + b - 2*r;

от формули за периметър на триъгълник: P = a + b + c  - като сума от дължини на страни и P = 2*S/r - като отношение между лице на триъгълник и радиус на вписаната окръжност;

може да се изведе формула за дължина на хипотенуза s = P - (a+b);

c = a + b - 2*r - формулата е изведена в задачата за вписан квадрат в правоъгълен триъгълник;

c = 2*S/r - (a+b);

a + b - 2*r  = 2*S/r - (a+b);

2*(a + b) = 2*S/r + 2*r

a + b = S/r + r;

a*b = 2*S - от формула за лице на правоъгълен триъгълник;

2*S/b + b = S/r + r;

b² - b*(S/r + r) + 2*S = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно b и се взема положителния корен за дължина на катет АС;

дължина на катет ВС: a = S/r + r  - b;

дължина на хипотенуза АВ: c = a + b - 2*r;

радиус на описана окръжност: R = c/2;

За правоъгълен триъгълник ABC, с хипотенуза AB, са дадени размери за: R - радиус на описаната окръжност  и r - радиус на вписаната окръжност. Да се изчислят страните на триъгълника.

c = a + b - 2*r - формулата е изведена в задачата за вписан квадрат в правоъгълен триъгълник;

изчислява се дължина на хипотенуза AB: c = 2*R - следствие от теорема на Талес

2*R = a + b - 2*r и от двете уравнения следва:

a + b = 2*R + 2*r;

(a + b)² = (2*R + 2*r)²;

a² + 2*a*b + b² = (c + 2*r)²;

c² + 2*a*b = c² + 4*c*r + 4*r²;

a*b = 2*(r² + r*c) - от двете уравнения се съставя система;

a + b = 2*R + 2*r;

решава се системата от две уравнения с две неизвестни a,b; 

дължина на катет BC = a;

дължина на катет AC = b;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: c - дължина на хипотенузата AB  и r - радиус на вписаната окръжност. Да се изчислят страните на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: mc - дължина на медиана CM към хипотенузата AB  и r - радиус на вписаната окръжност. Да се изчислят страните на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник ABC, с хипотенуза AB, са дадени размери за: R - радиус на описаната окръжност  и остър ъгъл BAC = α. Да се изчислят страните на триъгълника.

изчислява се дължина на хипотенуза AB: c = 2*R - следствие от теорема на Талес

дължина на катет BC: a = c*sin(α);

дължина на катет AC: b = c*cos(α);

периметър P = a + b + c;

лице S = a*b/2;

радиус на вписана окръжност: r = (a + b - c)/2;

За правоъгълен триъгълник ABC, с хипотенуза AB, са дадени размери за: R - радиус на описаната окръжност и отношението между острите ъгъл BAC/ABC = α/β. Да се изчислят страните на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник ABC, с хипотенуза AB, са дадени размери за: r - радиус на вписаната окръжност  и дължина на катет BC = α. Да се изчислят страните на триъгълника.

от формула за радиус на вписана окръжност r = (a+b-c)/2 се извежда:

b - c = 2*r - a

(c - b) = (a - 2*r) = m;

a² + b² = c² - от теорема на Питагор;

c² - b² = a²;

(c + b)*(c - b) = a² - от формула за съкратено умножение;

(c+b) = a²/(a - 2*r) = n

съставя се система уравнения:

(c - b) = m;

(c+b) = n;

изчислява се дължина на хипотенуза AB: c = (m+n)/2 = ( (a - 2*r) + a²/(a - 2*r) )/2;

изчислява се дължина на катет AC: b = √(c² - a²)

периметър P = a + b + c;

лице S = a*b/2;

За правоъгълен триъгълник ABC, с хипотенуза AB, са дадени размери за: r - радиус на вписаната окръжност  и P - периметър на триъгълника. Да се изчислят страните на триъгълника.

от формула за радиус на вписана окръжност r = (a+b-c)/2 се извежда:

a + b - c = 2*r;

a + b + c = P;

чрез почленно изваждане на двете уравнения се извежда:

изчислява се дължина на хипотенуза AB: c = (P - 2*r)/2;

съставя се система уравнения:

a + b = 2*r + c;

a² + b² = c² - от теорема на Питагор;

замества се: a = 2*r + c - b;

решава се квадратното уравнение с незвестно b: дължина на катет AC;

дължина на катет BC: a = 2*r + c - b;

лице S = a*b/2;

Сравнение между правоъгълен триъгълник и равнобедрен триъгълник. Най-дългата страна, в правоъгълния триъгълник, се нарича хипотенуза, а другите две по-къси страни катети.  Двете равни по дължина страни, в равнобедрен триъгълник, се наричат бедра, а третата страна основа. Един равнобедрен триъгълник може да бъде и правоъгълен триъгълник, ако се изпълнява основната формула от теорема на Питагор. Един правоъгълен триъгълник може да бъде равнобедрен, ако двата катета са с равна дължина.

Изчисляване дължина на страна в правоъгълен триъгълник може да се извърши и чрез основни тригонометрични функции, стойност на остър ъгъл и дължина на хипотенуза/катет. Използваните понятия са: прилежащ катет - страна рамо на разглеждания ъгъл; срещулежащ катет - срещулежащата страна на разглеждания ъгъл. На посочения адрес са представени уравнения за пресмятане на допълнителни тригонометрични функции.

Да се реализира проект, реализиращ калкулатор за изчисляване на задачи от типа вписана окръжност в правоъгълен триъгълник.

По въведени данни за два елемента на правоъгълен триъгълник да се изчисляват радиусите на съответните окръжности.

Разгледайте други реализирани примерни проекти, за които е ползвана подобна логическа структура на графичните обекти и/или приложени сходни алгоритми: теореми и формули, вписана окръжност в триъгълник, правоъгълен триъгълник, височина, сагита, вписана, описана и външно вписана окръжност.