В групата задачи от смеси и сплави обикновено присъстват 6 величини: процент и маса на трите разтвора - началните два и крайния.
Основни понятия:
Масата е е основно понятие и свойство на всички тела. В класическата механика маса на системата е равна на сумата от масите на съставящите я тела. В релативистката механика масата масата на системата в общия случай не е равна на аритметичната сума на масите на отделните компонентите.
Сплав е резултат от разтопяване и смесването в течно състояние на два или повече метала. Най-известните сплави между метал и неметал са стомана и чугун - сплави на желязо и въглерод. Процесът легиране е свързан със сплавяне на няколко метала.
Смес е система, състояща се от две или повече вещества (компоненти), диспергирани едно в друго. Смесите се делят основно на две групи: хомогенни или хетерогенни. Хетерогенните системи се състоят от сравнително големи частички от съответните вещества, докато при хомогенните системи (наричани често разтвори) веществата са диспергирани едно в друго на молекулярно ниво. Пример за хомогенни системи са въздух (смес от газове азот, кислород, въглероден диоксид и др.), морската вода (смес от вода, и соли като натриев хлориди, калиев хлорид и др.). Хетерогенни системи са: плодови сокове, мляко, гранит и др.
Разтвор е хомогенна система от две или повече вещества. Едното вещество се нарича разтворител. В задачите най-често срещания разтворител е вода. Когато в разтвора участва вода се споменава само процент на активната съставка. Такива са задачите с алкохолни напитки, захарен разтвор, солена вода и др.
В разглежданите задачи по подразбиране масата на крайната сплав или смес се явява сума от масите на началните сплави. Част от данните могат да са представени като пропорция и/или да се налага изчисляване на процент.
Да се реализира проект, представящ междупредметни връзки между Математика и Информатика.
Тема на проекта: задачи от смеси и сплави.
Като входни и изходни данни да участват: маса или обем, процент или части на начални разтвори и крайна смес/сплав.
Да се реализират поне 5 не повтарящи се комбинации от входни параметри.
Примери за повтарящи се комбинации:
Какво е процентното съдържание на захар във воден разтвор, ако в N части 10% захарен разтвор се долее 1 част вода.
Какво е процентното съдържание на мед в новата смес, ако са използвани два вида медни отпадъци N кг. с 40% мед и M кг. с 60% мед.
В следващите примери се разглеждат задачи с два начални разтвора - и присъстват 6 величини:
процент на първия разтвор/смес - P1
маса на първия разтвор/смес - M1
процент на втория разтвор/смес - P2
маса на втория разтвор/смес - M2
процент на крайния разтвор/смес - S_P
маса на крайния разтвор/смес - S_M
Обикновено са дадени явно 4 от величините и се търсят останалите 2. За получаване на крайна дроб знаменателят трябва да бъде произведение от степени на 2 или 5 или комбинация от степени с основа 2 и 5.
Системата уравнения се представя като:
S_M = M1 + M2
P1*M1 + P2*M2 = S_P*S_M
Да разгледаме няколко случая от задачи за проценти, сплави, смеси/разтвори:
а) Дадени са: маса и процент на първия разтвор P1, M1, маса и процент на втория разтвор P2, M2. Търсят се маса и процент на резултата от смесването им (крайния разтвор) S_P, S_M.
Изчисляват се:
S_M = M1 + M2
S_P = (P1*M1 + P2*M2)/S_M
б) Дадени са: маса и процент на първия разтвор P1, M1, проценти на втория разтвор и процент на резултата от смесването P2, S_P. Търсят се масите на втория разтвор и крайния разтвор M2 , S_M.
Изчисляват се:
M2 = (P1 * M1 - S_P * M1) / (S_P - P2)
S_M = M1 + M2
в) Дадени са: маса и процент на първия разтвор P1, M1, както и P2, S_M. Търсят се: S_P,M2
Изчисляват се:
M2 = S_M - M1
S_P = (P1*M1 + P2*M2)/S_M
г) Дадени са: маса и процент на първия разтвор P1, M1, както и M2, S_P. Търсят се: P2, S_M.
Изчисляват се:
S_M = M1 + M2
P2 = (S_P * S_M - P1 * M1) / M2
д) Дадени са: проценти на двата начални и крайния разтвор P1, P2, S_P, както и масата на крайния разтвор M2. Търсят се: S_M, M1;
Изчисляват се:
M1 = (P2 * M2 - S_P * M2) / (S_P - P1)
S_M = M1 + M2
е) Дадени са: маса и процент на първия разтвор P1, M1, както и маса и процент на крайния разтвор S_P, S_M. Търсят се: процентът и масата на втория начален разтвор P2,M2;
Изчисляват се:
M2 = S_M - M1
P2 = (S_P * S_M - P1 * M1) / M2
ж) Дадени са: дадени са процентите на двата начални и крайния разтвор P1, P2, S_P, както и масата на крайния разтвор S_M. Търсят се масите на двата начални разтвора M1, M2;
Изчисляват се:
Полагат се в основното уравнение M2 = S_M - M1 и се изчислява неизвестното M2:
M2 = (S_P * S_M - P1 * S_M) / (P2 - P1)
M1 = S_M - M2
Изведените уравнения се отнасят както за сплави, така и за смеси.
Използвайте едни и същи данни за проверка: Пример: процент_1 = 30; маса_1 = 200; процент_2 = 40; маса_2 = 300; процент на сместа = 36; маса на сместа = 500
За предпочитане е крайният резултат да бъде естествено число или поне крайна дроб. Ако е избран модел за автоматично генериране на входните данни използвайте алгоритъм брой и вид прости делители. За получаване на крайна дроб знаменателят трябва да бъде произведение от степени на 2 или 5 или комбинация от степени с основа 2 и 5. Множителите в знаменателя се конструират като елемент или произведение от различни прости множители на числителя.
Разгледайте други реализирани примерни проекти, за които е ползвана подобна логическа структура на логически обекти и/или приложени сходни алгоритми: пропорция, изчисляване на процент, задачи от работа, сложно тройно правило.