вписана, описана и външновписана окръжност в правоъгълен триъгълник

Примерните задачи за вписана, описана и външно вписана окръжност в правоъгълен триъгълник ползват следните равенства:

В правоъгълен триъгълник медиана mc към хипотенузата:

е равна на радиуса на описаната окръжност около триъгълника;

е равна на половината от дължината на хипотенузата;

разполовява средната отсечка свързваща средите на двата катета - нагледно доказателство за твърдението е представено в среди на височини.

Следващите формули дават връзка между дължини на страни и радиуси на описана, вписана и външно вписани окръжности:

радиуси на външно вписана окръжност по лице и страна: S = Ra*(p - a) = Rb*(p - b) = Rc*(p - c);

радиуси и дължини на страни: r*R = a*b*c / (4*p);

радиус на външно вписана окръжност (към хипотенузата):  Rc = P/2 

В страницата окръжности в правоъгълен триъгълник са представени формули като частен случай за радиуси на окръжности в правоъгълен триъгълник.

За правоъгълен триъгълник ABC с остри ъгли α,β докажете равенството: S = 2*sin(α)*sin(β)*sin(90⁰)*R²

лице на правоъгълен триъгълник S = a*b/2;

радиус на описаната окръжност R = c/2;

дължина на катет BC: a = c*sin(α);

дължина на катет AC: b = c*sin(β);

a*b/2 = 2*(a/c)*(b/c)*1*c²/4;

a*b/2 = a*b*c²/(2*c²);

a*b/2 = a*b/2

За правоъгълен триъгълник ABC с катети BC = a, AC = b докажете, че: сумата на разстоянията от центъра на описаната окръжност до всяка от страните (ta + tb + tc) е равна на сумата от радиусите на вписаната и описаната окръжност около референтния триъгълник:

ta + tb + tc =  R + r;

от алгоритъм за определяне център на описаната окръжност (пресечна точка на симетралите) следва, че разстоянието от центъра на описаната окръжност до катет е с дължина средна отсечка в триъгълника:

ta = b/2; 

tb = a/2;

от теорема на Талес tc = 0 - центърът на описаната окръжност лежи на хипотенузата и я разполовява;

радиус на описаната окръжност R = c/2;

радиус на вписаната окръжност: r = (a + b - c)/2;

a/2 + b/2 + 0 = c/2 +  (a + b - c)/2;

(a + b)/2 = (a + b)/2

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени ma, mb дължина на медиани към катетите. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

ma² = b² + 0.25*a² - от формула на Питагор;

mb² = a² + 0.25*b² - от формула на Питагор;

двете уравнения се събират почленно;

(ma² + mb²) = (a² + b² + 0.25* (a² + b²));

4*(ma²  + mb²) = 4*a² + 4*b² + a² + b²;

c² = 4*(ma²  + mb²)/5;

дължина на хипотенуза АВ: c = 4*√((ma²  + mb²)/5);

радиус на описана окръжност: R =  c/2;

от уравнението ma² = b² + 0.25*a²;

ma² = c² - a² + 0.25*a²;

дължина на катет: a = √((c² - ma²)/0.75);

по подобен начин се извежда формула за:

дължина на катет: b = √((c² - mb²)/0.75);

периметър на триъгълник Pabc = a + b + c;

лице на правоъгълен триъгълник Sabc = a*b/2;

радиус на вписана окръжност: r = (a + b - c)/2

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени R радиус на описаната окръжност и ma дължина на медиана към катет BC. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

от теорема на Талес за правоъгълен триъгълник:

дължина на хипотенуза АВ: c = 2*R = 2*mc;

радиус на описаната окръжност: R =  c/2;

от формула изведена в задачата правоъгълен триъгълник и медиани към катети:

дължина на катет: a = √((c² - ma²)/0.75);

дължина на катет: b = √(c² - a²) - от формула на Питагор;

периметър на триъгълник P = a + b + c;

лице Sabc = a*b/2;

радиус на вписана окръжност: r = (a + b - c)/2

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени R радиус на описаната окръжност и mb дължина на медиана към катет AC. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължина на катет  BC = a и ma дължина на медиана към същия катет. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

дължина на катет: b = √(ma² - 0.25*a²) - от формула на Питагор;

дължина на хипотенуза: c = √(a² + b²) - от формула на Питагор;

радиус на описаната окръжност: R =  c/2;

периметър Pabc = a + b + c;

лице Sabc = a*b/2;

радиус на вписаната окръжност: r = (a + b - c)/2

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължина на катет  AC = b и ma дължина на медиана към същия катет. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължина на хипотенуза AB = c и ma дължина на медиана към катет BC. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

радиус на описаната окръжност: R =  c/2;

от формула изведена в задачата правоъгълен триъгълник и медиани към катети:

дължина на катет: a = √((c² - ma²)/0.75);

дължина на катет: b = √(c² - a²) - от формула на Питагор;

периметър Pabc = a + b + c;

лице Sabc = a*b/2; 

радиус на вписаната окръжност: r = (a + b - c)/2

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължина на хипотенуза AB = c и mb дължина на медиана към катет AC. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени: ma - дължина на медиана към катет BC, mc - дължина на медиана към хипотенуза AB. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

от теорема на Талес за правоъгълен триъгълник: 

дължина на хипотенуза c = 2*mc;

радиус на описаната окръжност: R =  mc;

от формула, изведена в задачата правоъгълен триъгълник и медиани към катети:

дължина на катет: a = √((c² - ma²)/0.75);

дължина на катет: b = √(c² - a²) - от формула на Питагор;

периметър Pabc = a + b + c;

лице Sabc = a*b/2; 

радиус на вписаната окръжност: r = (a + b - c)/2

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени: mb - дължина на медиана към катет AC, mc - дължина на медиана към хипотенуза AB. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени: ma - дължина на медиана към катет BC и f - дължина на средната отсечка свързваща петите на медианите към двата катета. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

от свойство на средна отсечка в триъгълник: 

дължина на хипотенуза c = 2*f;

радиус на описаната окръжност: R =  c/2;

от формула, изведена в задачата правоъгълен триъгълник и медиани към катети:

дължина на катет: a = √((c² - ma²)/0.75);

дължина на катет: b = √(c² - a²) - от формула на Питагор;

периметър Pabc = a + b + c;

лице Sabc = a*b/2;

радиус на вписаната окръжност: r = (a + b - c)/2

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени: mb - дължина на медиана към катет AC и f - дължина на средната отсечка свързваща петите на медианите към двата катета. Да се изчисли лице и периметър на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник АВС са дадени Sabc - лице на триъгълник и hc - височина към хипотенузата. Да се изчислят дължини на медианите ma, mb, mc.

Възможни са няколко алгоритъм, два от тях изискват предварително изчисляване дължина на катетите.

дължина на хипотенуза c = 2*Sabc/hc;

радиус на описаната окръжност: R =  c/2;

Решава се системата уравнения: a*b = 2*S и a² + b² = c² с неизвестни  a и b; дължина на медианите може да бъде изчислена по формула на основа теорема на Стюарт;

Вариант 2 ползва следствие от теорема на Талес:

медиана към хипотенуза mc = c/2;

дължина на отсечката между пета на височина и медиана към хипотенузата MH = √(mc² - hc²);

приема се отношение между катетите AC>BC;

проекция на катет AC: AH = ac = mc+ MH;

проекция на катет BC: BH = bc = mc - MH;

дължина на катет AC: a = √(c*ac);

дължина на катет BC: b = √(c*bc);

радиус на вписаната окръжност: r = (a + b - c)/2;

за правоъгълен триъгълник се ползва теорема на Питагор;

ma = √(b² + 0.25*a²);

mb = √(a² + 0.25*b²)

За правоъгълен триъгълник АВС са дадени ah, bh проекциите на двата катета върху хипотенузата. Да се изчислят дължини на медианите ma, mb, mc.

дължина на хипотенуза: c = ah + bh;

радиус на описаната окръжност: R =  c/2;

медиана към хипотенуза mc = c/2 - от теорема на Талес;

дължина на катет AC: a = √(c*ah);

дължина на катет BC: b = √(c*bh);

радиус на вписаната окръжност: r = (a + b - c)/2;

дължина на медианите може да бъде изчислена по формула на основа теорема на Стюарт;

за правоъгълен триъгълник се ползва теорема на Питагор;

ma = √(b² + 0.25*a²);

mb = √(a² + 0.25*b²)

За правоъгълен триъгълник АВС са дадени дължина на катет АС = b; дължина на медиана към хипотенуза СМ = mc. Да се изчислят дължини на страните в триъгълника.

дължина на хипотенуза АВ: c = 2*mc - следствие от теорема на Талес;

дължина на катет BC: a = √(c² - b²);

друг алгоритъм с по-висока сложност разглежда триъгълника АМС:

за равнобедрения триъгълник АМС с основа АС и бедра CM = AM се прилага формула на Херон за изчисляване на лице Samc;

в триъгълник медиана към страна разполовява референтния триъгълник на две равни части;

от формулата hc*mc/2 = Samc се изчислява височина към хипотенузата hc = 2*Samc/mc;

дължина на катет AC: b = c*hc/a

За правоъгълен триъгълник АВС са дадени дължина на катет BС = a; дължина на медиана към хипотенуза СМ = mc. Да се изчислят дължини на страните в триъгълника.

Теореми, свързани с вписана, описана и външно вписана окръжност:

теорема на Питагор: извежда зависимости на проекции на катети върху хипотенуза в правоъгълен триъгълник;

теорема на Талес - описана окръжност: хипотенузата в правоъгълен триъгълник е и диаметър на описаната окръжност около същия триъгълник;

теорема на Мансион (theorem of Mansion): всяка отсечка, свързваща център на вписана с център на външно вписана окръжност се дели на две равни части от описаната окръжност около същия триъгълник;

лема на тризъбеца (trillium theorem, trident lemma) разглежда равенство на отсечки/хорди в описаната около триъгълник окръжност;

теорема SCI: в произволен триъгълник трите окръжности с крайни точки за диаметър връх на триъгълник - център на описаната окръжност около същия триъгълник са с равни радиуси;

теорема на Драгомани: центъра на вписаната окръжност, център на външно вписана окръжност и съответните два върха на референтния триъгълник са коциклични точки;

страните на произволен триъгълник с върхове център на външно вписана окръжност преминават през съответния връх на референтния триъгълник.

теорема на Ойлер (в геометрията - Euler's theorem): междуцентровото разстоянието d между вписаната и описаната окръжност около триъгълника d² = R*(R-2*r), където R - радиус на описаната окръжност, а r  е радиус на вписаната окръжност;

теорема на Карно  (Carnot's theorem): сумата на разстоянията от центъра на описаната окръжност до страните на триъгълника е равна на сумата на радиусите на описаната и вписаната окръжност в същия триъгълник;

теорема на Schiffler: правите на Ойлер за референтния триъгълник ABC и триъгълниците BCI , CAI , ABI имат обща пресечна точка т.S - за т.I център на вписаната окръжност;

теорема на Фойербах: за произволен триъгълник 9-точковата окръжност има допирни точки с  вписаната и трите външно вписани окръжности на референтния триъгълник;

теорема на Декарт извежда стойности на радиус за външно вписаната окръжност и описаната окръжност около три не вписани една в друга окръжности от равнината - две от основните аполониеви задачи.

Разгледайте други реализирани примерни проекти, за които е ползвана подобна логическа структура на графичните обекти и/или приложени сходни алгоритми: вписана окръжност в правоъгълен триъгълник, правоъгълен триъгълник, периметър, окръжности в правоъгълен триъгълник.