описан триъгълник

Около окръжност могат да се опишат неопределен брой триъгълници, в триъгълник може да се впише само една окръжност, имаща за център пресечната точка на ъглополовящите.

От поризъм на Poncelet (Poncelet's porism): ако триъгълник е вписан в окръжност и описан около друга окръжност, то може да бъде елемент от множество триъгълници всеки от които е вписан в първата окръжност и описан около втората окръжност.

Разглежда се геометрична задача за описан триъгълник, в която се доказва колинеарност на следните точки: център на вписана окръжност, център на описана окръжност, център на окръжност инцидентна с центъра на трите външно вписани окръжности около референтния триъгълник. Трите центъра принадлежат на права на Ойлер.

Алгоритъмът на построителната задача описан триъгълник съдържа следните стъпки:

по посочени 3 не колинеарни точки се построява референтния триъгълник ABC;

в цикъл последователно се построяват симетралите към страните и се изчисляват координати на тяхната пресечната точка т.Q;

изчислява се дължина на радиус R и се построява описаната окръжност;

в цикъл последователно се построяват ъглополовящите на вътрешните ъгли и се изчисляват координати на тяхната пресечната точка т.О;

изчислява се дължина на радиус Rо и се построява вписаната окръжност;

в цикъл последователно се построяват съответната двойка ъглополовящи на външните ъгли и се изчисляват координати на тяхната пресечната точка;

изчислява се дължина на радиус за всяка външно вписана окръжност и се построява съответната окръжност;

изчисляват се координати за център т.I и радиус за окръжност инцидентна с трите центъра (алгоритъм построяване на окръжност по 3 точки), построява се новата окръжност;

чрез алгоритъм за ориентирано лице се проверява твърдението за колинеарност на трите центъра.

В представените задачи се разглеждат формули за изчисляване дължина на височина в триъгълник, отношение между периметър и радиуси, лице на триъгълник, отношение между ъгли в триъгълник.

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: ъгъл C и височини hb, ha към другите 2 страни:

a = hb/sin(C); b = ha/sin(C); c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C));

лице на триъгълник S = a*ha/2; hc = 2*S/c;

радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S);

B = arcsin(a/(2*R)); A = π - B - C;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: височини hb, hc към съответните 2 страни и ъгъл D между височините :

C = π - D - четириъгълник с два прави срещулежащи ъгли;

a = hb/sin(C);

B = arcsin(hc/a); A = π - B - C;

радиус на описана окръжност: R = a/2*sin(A);

b = 2*R*sin(B); c=√(a² + b² - 2*a*b*cos(C));

лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);

ha = 2*S/a;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: страна c, височина към страната hc и прилежащ ъгъл A към същата страна:

лице на триъгълник S = c*hc/2;

b = hc/sin(A); a = √(b² + c² - 2*b*c*cos(A));

радиус на описана окръжност: R = a/(2*sin(A)) ;

ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;

B = arcos(( b² + c² -b ²)/(2*a*c)); C = π - (A+B)

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: страна c и прилежащи ъгли A и B:

C = π - (A + B);

радиус на описана окръжност: R = c/(2-sin(C));

a = 2*R*sin(A); b=2*R*sin(B);

лице на триъгълник: S = a*b*c/(4*R); ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c

ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: височина hc към тази страна и нейните прилежащи ъгли A и B:

C = π - A - B;

a = hc/sin(B); b = hc/sin(A);

радиус на описана окръжност: R = a/(2*sin(A));

c = 2*sin(C)*R;

лице на триъгълник S = c*hc/2;

ha = 2*S/a; hb = 2*S/b

периметър на триъгълник: P=a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: височина hc ъгъл от същия връх C и прилежащ ъгъл A:

B = π - A - C;

b = hc/sin(A); a = hc/sin(B);

радиус на описана окръжност: R = a/(2*sin(A));

c = 2*sin(C)*R;

лице на триъгълник: S = c*hc/2;

ha = 2*S/a; hb = 2*S/b

периметър на триъгълник: P=a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: ъгъл А, лице на триъгълник S и R радиус на описаната окръжност.

a = 2*R*sin(A);

от формулата лице на триъгълник S = 0.5*b*c*sin(A) се изчислява произведението b*c; чрез субституция в косинусова теорема и система уравнения се изчисляват дължините на страните b, c;

B = arcsin(b/(2*R); C = π - A - B;

ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

периметър на триъгълник: P=a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: страна a, лице на триъгълник S и R радиус на описаната окръжност.

A = arsin(a/(2*R));

от формулата лице на триъгълник S = 0.5*b*c*sin(A)се изчислява произведението b*c; чрез субституция в косинусова теорема и система уравнения се изчисляват дължините на страните b, c;

B = arcsin(b/(2*R); C = π - A - B;

височина в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

периметър на триъгълник: P=a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: височина ha, лице S и R радиус на описаната окръжност.

a=2*S/ha;

A = arsin(a/(2*R));

от формулата за лице на триъгълник S = 0.5*b*c*sin(A)се изчислява произведението b*c; чрез субституция в косинусова теорема и система уравнения се изчисляват дължините на страните b, c;

B = arcsin(b/(2*R); C = π - A - B;

височина в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: лице S, страна a и срещулежащ ъгъл А.

радиус на описана окръжност: R = a/(2*sin(A));

от формулата лице на триъгълник S = 0.5*b*c*sin(A) се изчислява произведението b*c; чрез субституция в косинусова теорема и система уравнения се изчисляват дължините на страните b, c;

B = arcsin(b/(2*R); C = π - A - B;

височина в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: периметър, периметър и радиуси, височина в триъгълник, поризъм на Poncelet.