медицентър

Медицентър е пресечна точка на медианите в триъгълник. Независимо от вида на триъгълника центъра на вписаната окръжност и медицентъра са вътрешни точки.

Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2:1 считано от върха - това свойство не е възможно за друг вид чевиани от същия триъгълник.

Всяка медиана дели триъгълник на два равнолицеви триъгълника, докато всеки isoscelizer  дели триъгълника на два контура с равен периметър.

Вписаният триъгълник с медиани и референтния триъгълник имат общ медицентър

Центърът на тежестта на триъгълник е и медицентър. Координатите му могат да бъдат изчислени чрез координатите за 3-те върха на триъгълника по формулите:

Mx = (Ax + Bx + Cx)/3

My = (Ay + By + Cy)/3

Особени задачи с медицентър:

Триъгълникът на Хонсбергер (Honsberger Triangle) има за върхове центровете на окръжностите, описани около триъгълниците MAB, MAC, MBC с общ връх  медицентъра M на основния триъгълник ABC и два от върховете му. 

Ако в произволен триъгълник ABC (медицентър M) се построят медианите съответно с пети Ma, Mb, Mc, то  триъгълника може да се представи чрез 6-те съставящи го триъгълника AMcM, BMcM, BMaM, CMaM, CMbM и AMbM. Окръжността на ван Ламоен е инцидентна с центровете на всяка от описаните окръжности около 6-те триъгълника.

За остоъгълен триъгълник сумата от разстоянията (OMa, OMb, OMc) между центъра на описаната окръжност и петите на медианите е равна на сумата от радиусите на вписаната (r) и описаната окръжност (R) за същия триъгълник: OMa + OMb + OMc = R + r

Център на описаната окръжност т.О, т.Е център на 9-точковата окръжност,т.H  ортоцентър и т.M медицентър са колинеарни точки инцидентни с права на Ойлер.

Отсечките EM = EH/3  -  от свойства на 9-точкова окръжност.

Отсечките OM < MH - разстоянието център описана : медицентър е по-малко от разстоянието медицентър : ортоцентър.

Ако през точка Т от триъгълник се построят три прави, всяка от които е успоредна на страна от референтния триъгълник, то сумата от лицата на триъгълниците с общ връх т.Т е минимална, ако избраната точка е медицентър на триъгълника.

В триъгълник отсечката ортоцентър : център на вписаната окръжност е с по-малка дължина от отсечката ортоцентър : медиценър HI<HM.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: височина, ортоцентър, медиана, права, триъгълник.