цилиндър

Цилиндър е вид ротационно тяло получено чрез завъртане на правоъгълник. Оста на ротация преминава през средата на двойка срещулежащи страни.

Определението за цилиндър като геометрично тяло, заградено от цилиндрична повърхнина и две равнинни сечения е рекурсивно. И основен проблем в дефиницията е цилиндрична повърхност. Описателно определението би изглеждало: ако между две окръжности с равни радиуси, лежащи в две успоредни равнини се построят множество успоредни прави, всяка от които преминава едновременно през точка от двете окръжности, то множеството прави (образувателни) образуват в пространството цилиндрична повърхнина. Ако двете успоредни окръжности се разглеждат като два успоредни кръга (основи) с равни радиуси, то образуваното обемно тяло е цилиндър. Ако всяка от образователните е едновременно перпендикулярна на радиуса в точка от окръжността на двете основи, то това е прав кръгов цилиндър. Изведените формули за разгледаните примери и задачи се отнасят за прав кръгов цилиндър.

Използват следните означения:

R - радиус на основата на правия кръгов цилиндър;

H - височина, образувателна;

d - диагонал на осно сечение

β - сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение (сечението преминава през центъра на двете основи и принадлежи на равнина едновременно перпендикулярна на равнините, в които лежат основите, разглежда се като правоъгълник със страни образувателна на цилиндъра и диаметър на основата; така диагоналът в осното сечение е диагонал в този правоъгълник).

Околна повърхнина на цилиндър: Sо = 2*π*R*H,

Пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R)

Обем на цилиндър: V = π*H*R²

В разгледаните основни задачи за цилиндър по въведени стойности на два елемента повърхнина, обем, радиус, образувателна/височина на осно сечение се изчисляват стойности за останалите елементи на цилиндъра. Представени са само параметрични уравнения - подход използван в правоъгълник, успоредник, обем на конус и пирамида.

За прав кръгов цилиндър са дадени R - радиус на основата и H - височина на цилиндъра. Да се изчисли V - обем на цилиндър и S - пълна повърхнина.

диагонал на осно сечение: d = √(H² + 4*R²);

лице на осно сечение: B = 2*H*R;

околна повърхнина на цилиндър: Sо = 2*π*R*H;

пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R);

обем на цилиндър: V = π*H*R²;

сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение: β = arctan(H/(2*R)).

За прав кръгов цилиндър са дадени R - радиус на основата и d - диагонал в осното сечение на цилиндъра. Да се изчисли V - обем на цилиндър и S - пълна повърхнина.

височина, образувателна на цилиндъра: H = √ (d² - 4*R²);

лице на осно сечение: B = 2*H*R;

околна повърхнина на цилиндър: Sо = 2*π*R*H;

пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R);

обем на цилиндър: V = π*H*R²;

сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение: β = arctan(H/(2*R)).

За прав кръгов цилиндър са дадени R - радиус на основата и B - лице на осното сечение. Да се изчисли V - обем на цилиндър и S - пълна повърхнина.

височина, образувателна на цилиндъра: H = B/(2*R);

диагонал на осно сечение: d = √(H² + 4*R²);

околна повърхнина на цилиндър: Sо = 2*π*R*H;

пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R);

обем на цилиндър: V = π*H*R²;

сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение: β = arctan(H/(2*R)).

За прав кръгов цилиндър са дадени R - радиус на основата и So - околна повърхнина. Да се изчисли V - обем на цилиндър и S - пълна повърхнина.

височина, образувателна на цилиндъра: H = So/(2*π*R);

диагонал на осно сечение: d = √ (H² + 4*R²);

лице на осно сечение: B = 2*H*R;

пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R);

обем на цилиндър: V = π*H*R²;

сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение: β = arctan(H/(2*R)).

За прав кръгов цилиндър са дадени R - радиус на основата и S - пълна повърхнина. Да се изчисли V - обем на цилиндър и S - пълна повърхнина.

от уравнението S = 2*π*R*(H + R);

височина, образувателна на цилиндъра: H = (S - 2*π*R²)/(2*π*R)

диагонал на осно сечение: d = √(H² + 4*R²);

лице на осно сечение: B = 2*H*R;

околна повърхнина на цилиндър: Sо = 2*π*R*H;

обем на цилиндър: V = π*H*R²;

сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение: β = arctan(H/(2*R));

За прав кръгов цилиндър са дадени R - радиус на основата и V - обем на цилиндър. Да се изчисли S - пълна повърхнина и β - сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение.

височина, образувателна на цилиндъра: H = V/(π*R²);

диагонал на осно сечение d = √(H² + 4*R²);

лице на осно сечение B = 2*H*R;

околна повърхнина на цилиндър: Sо = 2*π*R*H;

пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R);

сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение: β = arctan(H/(2*R)).

За прав кръгов цилиндър са дадени R - радиус на основата и β - сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение. Да се изчисли S - пълна повърхнина и V - обем на цилиндър.

височина, образувателна на цилиндъра: H = 2*R*tan(β);

диагонал на осно сечение d = √(H² + 4*R²);

лице на осно сечение B = 2*H*R;

околна повърхнина на цилиндър: Sо = 2*π*R*H;

пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R);

обем на цилиндър: V = π*H*R².

За прав кръгов цилиндър са дадени H - височина на цилиндъра и d - диагонал на осно сечение. Да се изчисли V - обем на цилиндър и S - пълна повърхнина.

радиус на основата: R = 0.5*√ (d² - H²);

лице на осно сечение B = 2*H*R;

околна повърхнина на цилиндър: Sо = 2*π*R*H;

пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R);

обем на цилиндър: V = π*H*R²;

сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение: β = arctan(H/(2*R)).

За прав кръгов цилиндър са дадени H - височина на цилиндъра и B - лице на осно сечение. Да се изчисли V - обем на цилиндър и S - пълна повърхнина.

радиус на основата: R = B/(2*H);

диагонал на осно сечение d = √(H² + 4*R²);

околна повърхнина на цилиндър: Sо = 2*π*R*H;

пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R);

обем на цилиндър: V = π*H*R²;

сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение: β = arctan(H/(2*R)).

За прав кръгов цилиндър са дадени H - височина на цилиндъра и So - околна повърхнина. Да се изчисли V - обем на цилиндър и S - пълна повърхнина.

радиус на основата: R = Sо /(2*π*H);

диагонал на осно сечение d = √(H² + 4*R²);

лице на осно сечение B = 2*H*R;

пълна повърхнина на цилиндър: S = 2*π*R*H + 2*π*R² = 2*π*R*(H + R);

обем на цилиндър: V = π*H*R²;

сключения ъгъл между диаметъра на основата и диагонал на осно сечение: β = arctan(H/(2*R)).

Задачите за изчисляване параметри на тръба - височина, обем, външен и вътрешен радиус, повърхнина обединяват два цилиндъра.

Известна специфика има в материала за наклонен цилиндър - височината на цилиндъра от центъра на основата не сключва прав ъгъл с диаметъра.

В разгледаните примерни задачи за изчисляване на ъгъл са ползвани обратните тригонометрични функции. При изчисляване на линейни размери са ползвани: теорема на Питагор, косинусова теорема, част от формулите разгледани в правоъгълник.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: вписан цилиндър, обем на цилиндър, описан цилиндър.