В равнобедрен триъгълник съществуват следни равенства:
Равни по дължина са:
двете бедра a,b;
височините към бедрата ha, hb
равни са ъглите при основата A, B;
съвпадат по координати и са равни по дължина hc = lc = mc : височината към основата hc, ъглополовящата към върха на равнобедрения триъгълник lc, медианата към основата mc;
Елементите на триъгълник могат да бъдат изчислени по 3 параметъра: поне един линеен размер; ъгъл или отношение. Споменатите равенства дават възможност за изчисляване елементите на равнобедрен триъгълник по два параметъра: поне един линеен размер, ъгъл или друго неспоменато отношение.
Представените решения са примерни, промяна последователността при изчисляване на елементите довежда и до използване на други теореми. Това ярко проличава при избор между синусова и косинусова теорема.
Параметрично решени примери и задачи свързани с равнобедрен триъгълник:
Изчислете елементи на равнобедрен триъгълник по дължина на бедро a и основа c:
дължини на страни b = a;
периметър на триъгълник P = 2*a + c; p = 0.5*P;
лице на равнобедрен триъгълник S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
дължини на височини hb = ha = 2*S/a; hc = 2*S/c;
радиус на описана окръжност R = a*b*c/(4*S);
ъгли: A = arcsin(a/(2*R)); B = A; C = arcsin(c/(2*R));
радиус на вписана окръжност r = 2 *S/(a + b + c);
Изчислете елементи на равнобедрен триъгълник по дължина на бедро a и височина към бедрото ha:
дължини на страни b = a;
лице на равнобедрен триъгълник S = a*ha/2;
C = arctan(b/(0.5*a)); A = 0.5*(π - C); B = A;
радиус на описана окръжност R = a/(2*sin(A));
c = 2*R*sin(C);
дължини на височини hb = ha; hc = 2*S/c;
периметър на равнобедрен триъгълник P = 2*a + c;
радиус на вписана окръжност r = 2 *S/(a + b + c);
Изчислете елементи на равнобедрен триъгълник по дължина на бедро a и височина (медиана, ъглополовяща) към основата hc:
дължини на страни b = a;
ъгли B = arcsin(hc/a); A = B; C = π - 2*A;
радиус на описана окръжност R = a/(2*sin(A));
c = 2*R*sin(C);
периметър на триъгълник P = 2*a+c;
лице на равнобедрен триъгълник S = a*b*c/(4*R);
височини ha = 2*S/a; hb = ha;
радиус на вписана окръжност r = 2 *S/(a + b + c);
Изчислете елементи на равнобедрен триъгълник по дължина на бедро a и лице на триъгълника S:
дължини на страни b = a;
височини ha = 2*S/a; hb = ha;
ъгли C = arcsin(ha/b); A = 0.5*( π - C); B = A;
радиус на описана окръжност R = a/(2*sin(A));
c = 2*R*sin(C);
hc = 2*S/c;
периметър на триъгълник P = 2*a + c;
радиус на вписана окръжност r = 2 *S/(a + b + c);
Изчислете елементи на равнобедрен триъгълник по дължина на бедро a и радиус на описаната окръжност R:
ъгли A = arcsin(a/(2*R)); B = A; C = π - 2*A;
дължини на страни b = a; c = 2*R*sin(C);
периметър на триъгълник P = 2*a + c;
лице на равнобедрен триъгълник S = a*b*c/(4*R);
височини ha = 2*S/a; hb = ha; hc = 2*S/c;
радиус на вписана окръжност r = 2 *S/(a + b + c);
Изчислете елементи на равнобедрен триъгълник по дължина на бедро a и периметър P:
дължини на страни b = a; c = P - 2*a;
полупериметър на триъгълник p = P/2;
лице на равнобедрен триъгълник S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
височини ha = 2*S/a; hb = ha; hc = 2*S/c;
радиус на описана окръжност R = a*b*c/(4*S);
ъгли A = arcsin(a/(2*R)); B = A; C = π - 2*A;
радиус на вписана окръжност r = 2 *S/(a + b + c);
Изчислете елементи на равнобедрен триъгълник по дължина на бедро a и срещулежащ ъгъл A:
дължини на страни b = a;
ъгли B = A; C = π - 2*A;
радиус на описана окръжност R = a/(2*sin(A)) - от синусова теорема;
c = 2*R*sin(C);
лице на равнобедрен триъгълник S = a*b*c/(4*R);
височини ha = 2*S/a; hb = ha; hc = 2*S/c;
периметър на триъгълник P = a + b + c;
радиус на вписана окръжност r = 2 *S/(a + b + c);
Изчислете елементи на равнобедрен триъгълник по дължина на бедро a и ъгъл при върха C:
дължини на страни b = a;
ъгли A = 0.5*(π - C); B = A;
радиус на описана окръжност R = a/(2*sin(A)) - от синусова теорема;
c = 2*R*sin(C);
лице на равнобедрен триъгълник S = a*b*c/(4*R);
височини ha = 2*S/a; hb = ha; hc = 2*S/c;
периметър на триъгълник P = a + b + c;
радиус на вписана окръжност r = 2 *S/(a + b + c);
Изчислете елементи на равнобедрен триъгълник по дължина на основа c и височина към бедро ha:
ъгли B = arcsin(ha/c); A = B; C = π - 2*A;
радиус на описана окръжност R = c/(2*sin(C)) - от синусова теорема;
дължини на страни b = a = 2*R*sin(A);
лице на равнобедрен триъгълник S = a*ha/2;
височини ha = 2*S/a; hb = ha;
периметър на триъгълник P = 2*a + c;
радиус на вписана окръжност r = 2 *S/(a + b + c);
Задачата за изчисляване на равнобедрен триъгълник е частен случай на задачата лице на триъгълник и е основата за изчисляване обем на пирамида и обем на конус.
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация относно изведени параметрични решения за: вписана окръжност в равнобедрен триъгълник, лице на равнобедрен триъгълник, периметър на равнобедрен триъгълник, равнобедрен триъгълник и ъглополовяща.