Решени задачи на тема височина в триъгълник свързани с изчисляване на лице, периметър, център и радиус на описана окръжност.
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: страна a, лице S и прилежащ ъгъл В.
от формулата лице на триъгълник S = 0.5*a*c*sin(В)се изчислява дължина на страната c=2*S/(a*sin(В)); b = √(a² + c² - 2*a*c*cos(B));
радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S);
A = arcsin(a/(2*R)); C = π - A - B;
ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: лице на триъгълник S и два ъгъла A, B.
C = π - A - B;
от лице на триъгълник S = sin(A)*sin(B)*sin(C) *2*R² се изчислява R = √ S/(2*sin(A)*sin(B)*sin(C)));
a = 2*R*sin(A); b = 2*R*sin(B); c = 2*R*sin(C);
височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: страна c, прилежащ ъгъл А и R радиус на описаната окръжност.
ъгли в триъгълник: C=arcsin(c/(2*R)); B=π-(A+C);
b = 2*R*sin(B); a = 2*R*sin(A);
лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R) = 0.5*a*b*sin(C);
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: радиус на описаната окръжност R и два ъгъла A, B.
C = π- (A + B);
a = 2*R/sin(A); b = 2*R/sin(B); c = 2*R/sin(C);
лице на триъгълник: S = a*b*c/(4*R);
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: радиус на описаната окръжност R, височина hc и ъгъл A.
a = 2*R*sin(A); b=hc/sin(A);
B = arcsin(b/(2*R)); C = π-(A+B);
c = 2*R*sin(C);
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);
височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: страна c, срещулежащ ъгъл C и височина към страна ha.
b = ha/sin(C);
ъгли в триъгълник: B = arcsin(ha/c); A = π - (B+C);
радиус на описана окръжност: R = b/(2*sin(B ));
c = √(a² +b² - 2*a*b*cos(C)) - косинусова теорема;
лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);
височини в триъгълник: hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: страна a, лице на триъгълник S и височина от съседния връх hb.
ha = 2*S/a;
b = 2*S/hb;
C= arcsin(ha/b);
c = 2*R*sin(C);
hc = 2*S/c;
ъгли в триъгълник: A = arcsin(hc/b); B = arcsin(hc/a);
радиус на описана окръжност: R = a/(2*sin(A));
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: две височини ha, hb и лице S.
a = 2*S/ha; b = 2*S/hb,
C = arcsin(ha/b);
c = √(a² +bc² - 2*a*b*cos(C));
радиус на описана окръжност: R = c/(2*sin(C));
ъгли в триъгълник: A = arcin(a/(2*R); B = arcin(b/(2*R);
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: две височини ha, hb и ъгъл C.
лице на триъгълник S = 0.5*ha*hb/sin(C);
a = 2*S/ha; b = 2*S/hb; ....... или b = ha/sin(C); a = ha/sin(C); c = √(a² +b² - 2*a*b*cos(C));
R = c/(2*sin(C));
ъгли в триъгълник: A = arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R));
hc=2*S/c;
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: две височини ha, hb и сумата от дължините на съответните страни a+b.
лице на триъгълник S = 0.5*(a+b)/(1/ha + 1/hb);
a =2*S/ha; b =2*S/hb;
C = arcsin(ha/b);
c = √(a² +b² - 2*a*b*cos(C)) - косинусова теорема;
радиус на описана окръжност: R = c/2*sin(C)); hc = 2*S/c;
периметър на триъгълник: P = a + b + c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: 3 височини ha, hb, hc.
лице на триъгълник S = 4*√(H*(H-1/ha)*(H-1/hb)*(H-1/hc))), за H = 0.5*(1/ha + 1/hb + 1/hc);
a = 2*S/ha; b = 2*S/hb; c = 2*S/hc;
радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S);
ъгли в триъгълник: A = arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R)); C = arcsin(c/(2*R));
реципрочната стойност на радиуса на вписаната окръжност е равен на сумата от реципрочните стойности на височините в триъгълника: 1/r = 1/ha + 1/hb + 1/hc;
Да се изчислят елементи на триъгълник по дадени: 3 медиани ma, mb, mc.
c = 2*√(2*ma² + 2*mb² - mc²)/2; a = 2*√(2*mb² + 2*mc² - ma²)/2; b = 2*√(2*mc² + 2*ma² - mb²)/2;
полупериметър на триъгълник: p = (a+b+c)/2;
лице на триъгълник: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S);
ъгли в триъгълник: A=arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R)); C= arcsin(a/(2*R));
височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*/S/c;
радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;
Задачата височина в триъгълник е свързана с пета на височина, пресечна точка на страна на триъгълник с права инцидента с пети на две височини и построяване на перпендикуляр.
Ако в триъгълникABC се построи се построят височина AHa, BHb, права инцидентна с точките Ha, HB, пресечна точка т.D = AB x HaHb, перпендикуляр от ортоцентъра към AD (HE ⊥ AD), то точките Mc (AMc = BMc), H, E са колинеарни точки
Алгоритъмът на построителната задача височина в триъгълник съдържа следните стъпки:
посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C и се построява референтния триъгълник;
построяват се височините Aha, BHb;
изчисляват се координати на ортоцентъра H = AHa x BHb;
изчислява се координати на пресечната точка D = AB x HaHb;
построява се отсечка CD;
с начало ортоцентъра се построява перпендикуляр към CD ( HE ⊥ CD);
изчислява се координати на пресечната точка Mc = AB x HE;
последователно се изчисляват дължина на отсечките Amc, BMc;
получаването на конгруентни стойности е и доказателство за основното твърдение в задачата височина в триъгълник.
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва алгоритми от изчисляване елементи на триъгълник. Потърсете допълнителен материал за: височини в триъгълник, ортоцентър, перпендикуляр.