В разгледаните параметрично решени примери и задачи на тема лице на успоредник по въведени стойности на три елемента се изчисляват дължини на страни, периметър, височини, диагонали и ъгли.
Да се изчисли S - лице на успоредник и дължина на диагоналите по въведени дължини на a - страна, ha - височина към нея и P - периметър на успоредника.
страна: b = (P - 2*a)/2;
лице на успоредник: S = a*ha;
ъгъл: α = arcsin(S/(a*b));
ъгъл: β = π - α;
височина: hb = a*sin(α);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на a - страна, ha - височина към прилежащата страна и α - острия ъгъл в успоредника.
страна: b = ha/sin(α) ;
ъгъл: β = π - α;
височина: hb = a*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на a - страна, ha - височина към прилежащата страна и β - ъгъл.
ъгъл: α = π - β;
лице на успоредник: S = a*ha;
височина: hb = a*sin(α);
страна: b = S/hb;
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на a - страна, hb - височина към прилежащата страна, e - по-късия диагонал.
Разглежда се триъгълник BCD със страни CD=a; BD=e; BC=b и височина hb към страната BC. Тя разделя разглеждания триъгълник на два правоъгълни триъгълника. Последователно, чрез теорема на Питагор изчисляваме дължината на двата катета m,n. Изчисляваме страна на успоредника b = m+n.
от уравнението за височина: hb = a*sin(α) изчисляваме α = arcsin(hb/a);
ъгъл: β = π - α;
височина: ha = b*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на a - страна, hb - височина към прилежащата страна, f - диагонал.
ъгъл: α = arcsin(hb/a);
ъгъл: β = π - α;
изчислява се cos(α);
От косинусова теорема за триъгълник ACD: f² = a² + b² + 2*a*b*cos(α); b² + 2*a*b*cos(α) + a² - f² = 0 изчислява се квадратното уравнение с неизвестно b и се ползва по-голямата стойност;
височина: ha = b*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли S - лице на успоредник и дължини на диагоналите по въведени P - периметър и дължини на a - страна и hb - височина в същия успоредник.
страна: b = (P - 2*a)/2;
лице на успоредник: S = b*hb;
ъгъл: α = arcsin(S/(a*b));
ъгъл: β = π - α;
височина: hb = a*sin(α);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и дължини на диагоналите в успоредник по въведени S - лице на успоредник и дължини на a - страна и hb - височина.
страна: b = S/hb;
височина: ha = S/a;
ъгъл: α = arcsin(S/(a*b));
ъгъл: β = π - α;
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на a - страна и e,f - диагонали в успоредника.
Построява се триъгълник с дължини на страни f, e, 2*a - във връх C се построява диагонала BD. Чрез формула на Херон се изчислява лице на новия триъгълник St. Използва се формулата St = 2a*ha/2.
височина: ha = 2*St/(2*a);
Разглежда се триъгълник ABD с дължини на страните AB = a, BD = e и вече изчислената височина DE = ha. С теорема на Питагор се изчислява дължина на отсечката EB = √(f² - ha²). Изчислява се дължина на отсечката m = a - EB.
От правоъгълния триъгълник AED с катети m, ha се изчислява ъгъл: α = arctan(ha/m);
ъгъл: β = π - α;
височина: hb = a*sin(α);
страна: b = ha/sin(α);
лице на успоредник: S = a*ha;
периметър на успоредник: P = 2*(a+b).
Да се изчисли S - лице и дължини на височините в успоредник по въведени P - периметър и дължини на a - страна и e - по-късия диагонал.
страна: b = (P -2*a)/2;
α = arccos((a² + b² - e²)/(2*a*b);
ъгъл: β = π - α;
височина: ha = b*sin(α);
височина: hb = a*sin(α);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и дължини на височините в успоредник по въведени S - лице и дължини на a - страна и e - по-късия диагонал.
Успоредник се дели от свой диагонал на два равнолицеви триъгълника.
Разглежда се триъгълник по 2 страни a,b и лице на триъгълник St:
от формулата за лице на триъгълник: St = 0.5*a*b*sin(C); arcsin(C) = (2*S/(a*b)); c =√(a² + b² - 2*a*b*cos(C));
Разглежда се триъгълник ABD със страни AB = a, BD = e, AD = b - търсената страна на успоредника.
лицето Sabd = 0.5*a*e*sin(ABD) = S/2; a*e*sin(ABD) = S;
ABD = arcsin((S/(a*e));
чрез косинусова теорема се изчислява дължина на страна: b =√(a² + e² - 2*a*e*cos(ABD));
чрез косинусова теорема за триъгълник ABD се изчислява ъгъл BAD: α = arccos((a² + b² - e²)/(2*a*b);
ъгъл: β = π - α;
височина: ha = b*sin(α);
височина: hb = a*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на a - страна , e - диагонал и α - остър ъгъл в успоредника.
ъгъл: β = π - α;
от формула за диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α)) се изчислява квадратното уравнение за b - дължина на страна: b² - 2*a*b*cos(α)) + a² - e² = 0;
височина: ha = b*sin(α);
височина: hb = a*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: диагонали в успоредник, периметър на успоредник, успоредник.