делтоид

Делтоид е изпъкнал четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали и две двойки равни по дължина съседни страни.

Определението предопределя и следните свойства:

всеки делтоид е вид ортогонален четириъгълник - такива четириъгълници са: квадрат, ромб, трапец с перпендикулярни диагонали;

делтоид имащ два срещулежащи прави ъгъла е бицентричен четириъгълник - едновременно вписан и описан.

В делтоид колинеарни точки са:

пресечната точка на диагоналите;

пресечната точка на ъглополовящите - център на вписаната окръжност;

пресечната точка на симетралите (само ортогонален делтоид има описана окръжност и нейният център е инцидентен с диагонал в референтния делтоид);

пресечната точка на бимедианите - в четириъгълник бимедиана свързва среди на двойка срещулежащи страни, в делтоид петите на бимедианите са върхове на правоъгълник;

пресечната точка на отсечките свързващи допирните точки на вписаната окръжност на двойка срещулежащи страни на делтоида;

пресечните точки на 4-те maltitude са инцидентни с диагоналите в референтия делтоид и представят върхове на вписан делтоид - нагледно доказателство за твърдението е представено в 8-точкова окръжност;

Изброените точки са инцидентни с диагонала свързващ общите точки на страните с равна дължина. Същият диагонал е и: ос на симетрия на делтоида, ъглополовяща на срещулежащите ъгли, симетрала на другия диагонал (от свойство на височина в равнобедрен триъгълник).

Съществува и друг вид четириъгълник с подобни свойства. В литературата се представя често като стрела, стрелка ... Ако в делтоид се построи двойката ъглополовящи, то референтния делтоид се разбива на стрела и делтоид. На чертежа четириъгълникът BCDO е стрела - неизпъкнал 4-ъгълник, с две двойки равни страни, с взаимно перпендикулярни диагонали, единия диагонал е ос на симетрия. Четириъгълникът ABOD е също делтоид.

ако около делтоид може да се опише окръжност, то това е правоъгълен делтоид и центъра на описаната окръжност е инцидентен с диагонала свързваш върховете с двойка съседни равни страни - от теорема на Талес за описана окръжност около правоъгълен триъгълник;

центъра на вписаната окръжност в делтоид лежи на отсечката свързваща средите на диагоналите му - теорема на Newton;

в произволен делтоид може да се впише окръжност и нейният център лежи на диагонала свързваш общите точки на двойките равни страни;

отсечката, свързваща центъра на описаната и вписаната окръжност, е част от диагонала на делтоид, нейната дължина се определя по формула, изведена в теорема на Fuss:

1 / (R - r)² + 1 / (R + OQ)² = 1 / r² за OQ - дължина на междуцентровото разстояние;

в делтоид средите на страните са върхове на вписан правоъгълник - частен случай в теорема на Вариньон;

Използвани формули в делтоид:

лице на делтоид S = e*f/2 - като правоъгълен триъгълник имаш катети с дължина e,f;

лице на делтоид S = P*r/2 чрез P - периметър и r - радиус на вписаната окръжност;

лице на делтоид S = a*b*sin(γ) като сума от лицата на два еднакви триъгълника;

Доказателството ползва теоремата за допирателна - радиус на окръжност в точката на допиране е перпендикулярен към допирателната. Всяка страна на описания делтоид може да се разглежда като допирателна към вписаната окръжност. Делтоидът се разглежда като съставен от 4 триъгълника, разделен от диагоналите си. Лицето на всеки триъгълник е полупроизведение от страна и височина към нея - в случая ролята на височина се поема от радиус към точката на допиране за всяка страна на делтоида.

дължина на диагонал e = a*√(2*(1-cos(α))) = b*√(2*(1-cos(β))) чрез косинусова теорема страна и сключения ъгъл между двойка равни страни;

дължина на диагонал f = √(a² + b² - 2*a*b*cos(γ)) - където a,b дължини на страни, γ - сключения ъгъл между тях, знакът зависи от вида на ъгъла;

дължина на диагонал f = 2*R - следствие от теорема на Талес, само за вписан делтоид.

построителни задачи

делтоид и коциклични точки - в делтоид са построени двата диагонала. Във всеки от триъгълниците с общ връх пресечната точка на диагоналите и страни: част от двата диагонала, страна на референтгния делтоид. Във всеки от триъгълниците е построена вписана окръжност. Центровете на вписаните окръжности са коциклични точки, а центърт на окръжността с коята са инцидентни лежи върху диагонал на делтоида.

делтоиди и правоъгълник - в делтоид са построени 4 точки, всяка от които среда на съответната страна. Тези точки са върхове на правоъгълник, а пресечната точка на диагоналите му е инцидентна с диагонал на делтоида.

делтоид и делтоид - в делтоид са построени двата диагонала. Всеки от тях разделя делтоида на два триъгълника със страни две от страните на делтоида и един от диагоналите. Във всеки от триъгълниците е построена вписана окръжност. Центровете на вписаните окръжности са върхове на делтоид. Два от върховете на новия делтоид са инцидентни с диагонал на референтния делтоид, а пресечната им точка е инцидентна със същия диагонал.

в задачата делтоид и 8-точкова окръжност са построени двете двойки maltitude. Всяка от тях има начало среда на страна и за край проекция на средата върху срещулежаща страна или нейно продължение. Точките са коциклични и центъра на окръжността е инцидентен с диагонал на делтоида.

в задачата вписан и описан делтоид отсечката, свързваща центъра на описаната и вписаната окръжност, е част от диагонала на делтоид, нейната дължина се определя по формула, изведена в теорема на Fuss:

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: описан делтоид, вписан делтоид, косинусова теорема, теорема на Питагор, делтоид и подобни квадрати.