вписан квадрат в триъгълник

В задачата вписан квадрат в триъгълник се разглежда остроъгълен триъгълник с въведени данни за дължини на височина и срещулежаща страна. В триъгълника е вписан квадрат, за който една от страните му лежи на страна от триъгълника. Търси се отношението между лицата на вписания квадрат в триъгълника.

Вписаният квадрат отсича от триъгълника подобен триъгълник (по 3-ти признак) в случая триъгълника HGC с успоредни страни - отсечките HG || AB, а двете двойки съответни страни сключват общ ъгъл.

Използвани означения са:

с - дължина на страна АВ;

h - височина CD в триъгълника

k - страна на квадрата

Коефициентът на подобие за два триъгълника представя отношението между двойка съответни страни или височини.

Извежда се съотношението между съответните страни и височини:

c / k = h/(h-k);

c*h - c*k = k*h;

изчислява се страна от квадрата: k = c*h/(c+h);

изчислява се лице на триъгълник: St = c*h/2;

лице на квадрат: Sk = k²;

отношение между лица на триъгълник и квадрат: St/Sk = (c*h/2) / (c*h/(h+c))² = (h+c)²/(2*c*h)

Алгоритъмът на построителната задача използва хомотетия и съдържа следните стъпки:

по посочени три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

посочват се координати на 4-та точка и се преизчисляват координати на проекцията й върху страната AB - т.1;

към страната AB се построява перпендикуляр с начало т.1 и се изчислява пресечната му точка със страната AC - т.2;

изчислява се дължина на отсечката 12 и с начало крайните й точки се построява последователно перпендикуляр към нея - 14 ⊥ 12, 23 ⊥ 12;

изчисляват се координати на пресечната точка (т.G) между 12 и BC - чрез хомотетия се проектира връх на квадрата (т.3) върху страната BC;

изчислява се дължина на отсечката GF (GF ⊥ AB) перпендикуляр към страната AB;

по вече описания алгоритъм се построяват другите два върха на търсения вписан квадрат.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: вписани окръжности и квадрат, квадрат и медиани, квадрат и равностранни триъгълници.