антипедален равностранен триъгълник

В задачата антипедален равностранен триъгълник се разглежда произволен триъгълник ABC, за който е построена точка на Торичели-Ферма. Извежда се нагледно доказателство, че конструираният антипедален триъгълник IJK е равностранен.

Разглежданата задача съдържа два основни елемента: точка на Торичели-Ферма и антипедален триъгълник.

В задачата точката на Торичели-Ферма (Torricelli point, Fermat–Torricelli point) се разглеждат две точки като първата точка на Ферма е пресечната точка на отсечки свързващи връх на референтния триъгълник със срещулежащия връх на съответния външен равностранен триъгълник (с дължина на страна съответната страна на референтния триъгълник).

Разглежданите точки на Ферма са условно наречени първа и втора и се конструират по сходен начин, основната разлика е посоката на равностранните триъгълници. Подобна конструкция има в двете точки на Наполеон - разгледани в теорема на Наполеон.

Антипедалният триъгълник има страни, всяка от които е перпендикулярна на отсечка свързваща връх на референтния триъгълник с предварително посочена вътрешна точка. Триъгълникът IJK е антипедален триъгълник за референтния триъгълник ABC по отношение на дадена точка P, a триъгълникът ABC е педален триъгълник на IJK по отношение на същата точка P.

Алгоритъмът на построителната задача антипедален равностранен триъгълник съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C и се построява референтния триъгълник;

подалгоритъм за определяне точка на Ферма

последователно се построяват равностранни триъгълници BCA', ACB', ABC';

последователно се построяват отсечки AA', BB', CC';

изчисляват се координати на т.F обща пресечна точка на построените отсечки;

подалгоритъм за построяване антипедален триъгълник;

в цикъл последователно през всеки връх на референтния триъгълник се построяват прави k ⊥ AF, m ⊥ BF, n ⊥ CF перпендикулярни на съответната отсечка AF, BF, CF - точка на Ферма:връх на референтния триъгълник;

в цикъл последователно се изчисляват координати на пресечни точки (I, J, K) между всяка двойка от правите k,m,n;

построява се триъгълник IJK антипедален триъгълник на референтния;

в цикъл последователно се изчисляват дължини на отсечките IJ, JK, KI - получаването на конгруентни стойности е и търсеното нагледно доказателство в задачата антипедален равностранен триъгълник.

Съществува интересна задача от областта на занимателната геометрия - вписан равностранен триъгълник на Наполеон. Разглежда се триъгълник, описана окръжност, равностранни триъгълници за всяка страна, триъгълник на Наполеон с върхове център на тежестта за отделните равностранни триъгълници. Вписаният равностранен триъгълник има за върхове пресечната точка на описаната окръжност с права, успоредна на страна от вътрешния триъгълник на Наполеон. Всяка права е и инцидентна с центъра на описаната окръжност около референтния триъгълник. Това определение позволява построяване на два еднакви, но завъртени под ъгъл равностранни триъгълника.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: антипедален триъгълник, точка на Торичели-Ферма, перпендикуляр.