салинон

Контурът на фигурата салинон (Salinon) е образуван от 4 полуокръжности имащи общи допирни точки. Задачата за построяване и/или изчисляване лице на салинон е част от множеството задачи за архимедови окръжности и арбелос.

За чертежа са валидни средните равенства:

AI = BJ - двете странични полуокръжности са с равен диаметър;

OI = OJ - т.О е център на средната полуокръжност;

Ако OI = OJ = 0 фигурата се изражда в арбелос с две еднакви полуокръжности.

Архимед в своята книга на лемите пръв въвежда терминът салинон и доказва (след Евклид), че фигурата ACBFJDIE има площ равна на площта на радикалната окръжност, чийто диаметър е отсечката CD свързваща средите на най-голямата и средната дъги/полуокръжности.

При извеждане на доказателството използваните означения са:

R - радиус на основната полуокръжност;

r - радиус на средната полуокръжност;

m - диаметър на двете крайни полуокръжности: m = (R-r);

Ssol - лице на салинон, изчислява се като разлика между сумата от лицата на голямата и средната полуокръжност минус сумата от лицата на двете крайни полуокръжности.

Srokr -  лице на радикалната окръжност с диаметър d = R+r;

Srokr = (pi/4)*d² = (pi/4)*(R+r)²;

Ssol = (pi*R²)/2 + (pi*r²)/2 - (2*pi*(R-r)²)/(4*2);

Ssol = (pi*R²)/2 + (pi*r²)/2 - (pi*(R-r)²)/4;

Ssol = (pi*R²)/2 + (pi*r²)/2 - (pi*R²)/4 + 2*pi*R*r/4 - (pi*r²)/4;

Ssol = (pi*R²)/4 + (pi*r²)/4 + 2*pi*R*r/4;

Ssol = (pi/4)*(R+r)²;

Srokr = (pi/4)*d² = (pi/4)*(R+r)²;

Ssol = Srokr - лицето на референтния салинон е равно на лице на вписаната в него радикална окръжност.

Задачата за изчисляване лице на салинон прилича на задача за доказване на математическо тъждество. Защо не е изведена като такова? Може би защото древните гърци са били с особено мнение по отношение на отрицателните стойности. Може би.

Алгоритъмът за построяване на салинон съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C;

изчислява се се среда на отсечката AB - т.О;

построява се октантна дъга (полуокръжност) с диаметър AB и център т.O - радиус R = AB/2;

преизчисляват се координатите на т.C, така че да бъде среда на дъгата ACB;

в реализираното изпълнимо приложение избраната дължина за радиус на средната полуокръжност е 10% от радиуса на най-голямата дъга;

построява се октантна дъга (полуокръжност) IDJ с диаметър r = R/10 и център т.O;

последователно се построяват двете странични полуокръжности с диаметър m = (R-r);

построява се общата външна допирателна EF на двете двете странични полуокръжности;

построява се радикалната окръжност с център т.Q и диаметър отсечката CD.

Ако избраната дължина на диаметър за диаметър на средната полуокръжност изпълнява неравенството 0 < 2r < 2R, то за референтния салинон са в сила следните твърдения:

точките C, E, D, F (среди на дъгите) са коциклични точки;

общата външна допирателна е и диаметър на радикалната окръжност;

вписаният четириъгълник  C, E, D, F е квадрат.

При извеждане на доказателството се ползва теорема на Талес - описана окръжност и/или подобни правоъгълни триъгълници.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: перпендикулярни отсечки, архимедови окръжности и арбелос, трискелион, хавайска обеца, сагита.