теорема за еквивалентни окръжности

В задачата теорема за еквивалентни окръжности (Equal incircles theorem) се разглежда права, точка T не принадлежаща на правата и ред отсечки AT, BT, CT, DT, ET, FT свърващи точката с правата. Разглеждат се множество последователно построени триъгълници имащи общ връх. Всеки от триъгълниците BCT, CDT, DET има обща страна със двата съседни, изключение са крайните два - първият ABT и последният EFT. Във всеки триъгълник от последователността е вписана окръжност, във всяка двойка съседни триъгълници ACT, BDT, CET, DFT също е вписана окръжност. В задачата се извежда твърдението - ако в отделните триъгълници вписаните окръжности (на чертежа с цвят зелен) са с равен радиус, то и в двойките съседни триъгълници вписаните окръжности (на чертежа с цвят червен) също са с равен радиус.

Задачата е част от популярни японски задачи.

Условието на задачата дава и алгоритъма за нейното решаване. Всички триъгълници имат общ връх, и страна, отсечка от обща права. Ако за първия триъгълник се построи външно вписана окръжност с радиус на вписаната и от общия връх се построи отсечка допираща се да тази външно вписана окръжност, то вече съществуват два съседни триъгълника имащи вписани окръжности с равен радиус. Процесът може циклично да се повтаря, като на всяка стъпка се построява вписана окръжност в двойка съседни окръжности и се сравнява нейният радиус с радиуса на следващите построени.

Алгоритъмът на построителната задача теорема за еквивалентни окръжности съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки за върхове на началния триъгълник, първите две въведени точки определят еднозначно общата права, координатите на третата въведена точка определят общия връх на следващите триъгълници;

начало на цикъл;

построява се вписана окръжност за поредния триъгълник  - на чертежа с цвят зелен;

построява се външно вписана окръжност (на чертежа с цвят зелен) с радиус на вписаната и център пресечна точка на външните ъглополовящи;

с начало общия връх се построява допирателна към външно вписаната окръжност;

изчисляват се координати за пресечна точка между допирателната и общата права - тази точка е и третия връх на новия триъгълник, както и на триъгълника обединяващ двата предходни;

изчислява се център и радиус за вписана окръжност (на чертежа с цвят червен) за двойката съседни триъгълника;

край на цикъл;

за всяко следващо повторение на цикъла се сравнява изчисления радиус на червена окръжност и се сравнява с радиус на предходните построени червени окръжности.

Получаването на конгруентни стойности е и доказателство за основното твърдение в задачата теорема за еквивалентни окръжности.

Познати са и други задачи свързани с построяване на окръжности с равен радиус.

В задачата конгруентни окръжности и ортоцентър се разглежда триъгълник, височини, ортоцентър и център на описаната окръжност. За всяка от височините е построено отражение на центъра на описаната окръжност. Всяка от отсечките свързваща центъра на описаната окръжност и нейното отражение спрямо поредната височина е с дължина удвоеното разстояние център на описаната до височината. Всяка от построените отсечки се проектира в началото и края на нейната успоредна страна от референтния триъгълник. Така във всеки връх на триъгълника има крайни точки на две такива отсечки с не непременно равни дължини. През всеки връх на триъгълника и крайните точки на съответните две пресичащи се отсечки се построява окръжност.  Трите окръжности са с радиус дължина на разстоянието ортоцентър : център на описаната окръжност. Твърдението е валидно за произволен триъгълник.

В задачата равни радиуси се разглеждат пет окръжности имащи радиус - радиуса на описаната окръжност около същия триъгълник:  описаната окръжност, три окръжности с център връх на референтния триъгълник и радиус отсечката връх на триъгълника : център на описаната окръжност.  Всяка от пресечните точки на трите окръжности е инцидентна с нова окръжност, чийто радиус е равен също на радиуса на описаната окръжност. Вариант е и задачата разгледана в теорема SCI.

От теорема на Johnson: окръжностите преминаващи през два от върховете на остроъгълен триъгълник и неговия ортоцентър имат равни радиуси.

В задачата за средни отсечки е реализирано построяване на 4 описани окръжности с равен радиус описани около триъгълници с върхове пети на медиани. 

Фракталът цвете на живота, арменска спирала.

Множеството архимедови окръжности близнаци като четиризнаци окръжности на Bankoff, окръжности на QTB...

Списъкът няма претенции за изчерпателност.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност, окръжност на ван Ламоен, конгруентни окръжности и ортоцентър.