лице на триъгълник

В задачите лице на триъгълник се разглежда равнинен разностранен триъгълник. Поставеният акцент е върху отношение между два или повече основни елемента - страни или ъгли. Спазва се подходът SAS (Side Angle Side) при групиране на 3 основни елемента.

При изчисляване стойност за ъгъл от синусова/косинусова теорема се ползват обратните тригонометрични функции - arccin, arccos. В представените параметрични решения на отделните типови задачи е разгледан само базовия вариант - останалите се получават чрез ротация на ъгли/страни/височини.

Използвани означения:

a, b, c - дължини на страни в триъгълника;

P = a + b + c - периметър на триъгълника; p = 0.5*P - полупериметър на триъгълника;

A, B, C - ъгли на триъгълника;

S - лице на триъгълник;

ha, hb, hc - дължини на височини в триъгълник;

R - радиус на описаната окръжност;

r - радиус на вписаната окръжност;

Ra, Rb, Rc - радиус на външно вписани окръжности;

Примерните задачи за изчисляване лице на триъгълник имат условие от вида:

Изчислете елементите на триъгълник по: периметър P и отношение между страните Qa:Qb:Qc.

дължини на страни: k = Qa+Qb+Qc; a = P/(Qa*k); b = P/(Ob*k) ; c = P/(Oc*k);

полупериметър p = (a+b+c)/2; лице на триъгълник S = √(p*p-a)*(p-b)*(p-c));

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

радиус на описаната окръжност R = a*b*c/(4*S);

отношение между ъгли в триъгълник: A = arsin(a/(2*R)); B = arsin(b/(2*R)); C = arsin(c/(2*R));

Изчислете елементите на триъгълник по: радиус на описаната окръжност R и отношение на ъглите Oa:Ob:Oc.

отношение между ъгли в триъгълник: k = Oa+Ob+Oc; A = pi/(k*Oa); B = pi/(k*Ob); C = pi/(k*Oc);

дължини на страни: a = 2*R*sin(A); b = 2*R*sin(B); c = 2*R*sin(C);

лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

Изчислете елементите на триъгълник по: лице и отношение между страните Qa:Qb:Qc.

Частен случай - ако отношението е питагорова тройка.

Представяме страните чрез коефициент на пропорция х: a=x*Qa; b=x*Qb, c = x*Qc; p = (a+b+c)/2 = x*(Qa+Qb+Qc)/2.

От формула на Херон за лице на триъгълник S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) се изчисля коефициентът на пропорция x² = S/√((Qa+Qb+Qc)*(-Qa+Qb+Qc)*(Qa-Qb+Qc)*(Qa+Qb-Qc)) ;

дължини на страни: a = x*Qa; b = x*Qb; c = x*Qc;

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

радиус на описаната окръжност R =a*b*c/(4*S);

отношение между ъгли в триъгълник: A = arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R)); C = arcsin(c/(2*R));

Изчислете елементите на триъгълник по: лице S, R радиус на описаната окръжност и отношение между дължините на страните a:b:c = (Qa*x):(Qb*x):(Qc*x).

от формулата за лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R) извеждаме Qa*x*Qb*x*Qc*x = 4*R*S x*x*x = 4*R*S/(Qa*Qb*Qc);

дължини на страни: a = Qa*x; b = Qb*x; c = Qb*x;

отношение между ъгли в триъгълник: A = arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R)); C = arcsin(c/(2*R));

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

Изчислете елементите на триъгълник по: радиус на описаната окръжност R, ъгъл C и отношение на страните Qa:Qb:Qc.

дължини на страни: a = 2*R*sin(C); b = a*Qb/Qa; b = a*Qc/Qa;

лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);

отношение между ъгли в триъгълник: B = arcsin(b/(2*R); A = arcsin(a/(2*R);

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

Изчислете елементите на триъгълник по: височина hc и отношение между ъглите Oa:Ob:Oc.

отношение между ъгли в триъгълник: k = Oa+Ob+Oc; A = pi/(k*Oa); B = pi/(k*Ob); C = pi/(k*Oc);

дължини на страни: a = hc/sin(B); b = hc/sin(A); c = √ (a² + b² - 2*a*b*cos(C));

лице на триъгълник S = c*hc/2; радиус на описаната окръжност R = c/(2*sin(C));

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;

Вариантите с дадени стойности за височините ha или hb са аналогични.

Изчислете елементите на триъгълник по: лице S, страна a и отношение между ъглите Oa:Ob:Oc.

отношение между ъгли в триъгълник: k = Oa+Ob+Oc; A = pi/(k*Oa); B = pi/(k*Ob); C = pi/(k*Oc);

радиус на описаната окръжност R = a/(2*sin(A));

дължини на страни: b = 2*R*sin(B); c = 2*R*sin(C);

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

Изчислете елементите на триъгълник по: страна а, коефициент на отношение с прилежаща страна Q=a/b и сключения между тях ъгъл C.

дължини на страни: b = a/Q; c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C));

радиус на описаната окръжност: R = c/(2*sin(C));

отношение между ъгли в триъгълник: A = arcos((-a² + b²+c²)/( 2*b*c)); B = 2*pi-A-C;

лице на триъгълник: S = a*b*c/(4*R);

височини в триъгълник: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

При решаване на проблеми свързани с намиране елементи на триъгълник са ползвани следните формули:

S = 0.5*b*c*sin(α) = 0.5*a*c*sin(β) = 0.5*a*b*sin(γ)

S = 0.5*a*b*sin(A+B) = 0.5*b*c*sin(B+C) = 0.5*a*c*sin(A+C)

S = (0.5*a²)/(cot(B) + cot(C)) = (0.5*b²)/(cot(A) + cot(C)) = (0.5*c²)/(cot(A)+cot(B))

S = 0.5*sin(B)*sin(C)*a²/sin(B+C) = 0.5*sin(A)*sin(C)*b²/sin(A+C) = 0.5*sin(A)*sin(B)*c²/sin(A+B)

S = 0.5*ha*hb/sin(C) = 0.5*hb*ha/sin(A) = 0.5*ha*hc/sin(B)

S = 2*sin(A)*sin(B)*sin(C)*R²

S = 0.25*a*b*c/R

S = 0.25*(b² + c² - a²)*tan(A) = 0.25*(a² + c² - b²)*tan(B) = 0.25*(a² + b² - c²)*tan(c)

S = 0.5*(a+b)/(1/ha + 1/hb) = 0.5*(a+c)/(1/ha + 1/hc) = 0.5*(b+c)/(1/hb + 1/hc)

S = R*hb*hc/a = R*ha*hc/b = R*ha*hb/c

S = 0.5*Ra*(-a + b + c) = 0.5*Rb*(a - b + c) = 0.5*Rc*(a + b - c);

S = 0.5*r*(a + b + c);

лице на триъгълник по периметър и радиус на външно вписани окръжности S = Ra*Rb*Rc / p

S = Ra*(p-a) = Rb*(p-b) = Rc*(p-c) за p=0.5*(a+b+c); радиуси на външно вписаните окръжности към съответните страни Ra, Rb, Rc

лице на триъгълник по формули подобни на формулата на Херон

S = (4/3)*√(m*(m - ma)*(m - mb)*(m - mc)) за дължина на медианите m = 0.5*(ma+mb+mc)

(1/S) = 4*√(h*(h - 1/ha)*(h - 1/hb)*(h - 1/hc)) за дължина на височините h = 0.5*(1/ha + 1/hb + 1/hc)

S = 4*R²+√(Y*(Y-sin(A))*(Y-sin(B))*(Y-sin(C))) за радиус на описаната окръжност R = a/(2*sin(A)) = b/(2*sin(B)) = c / (2*sin(C) и Y = 0.5*(sin(A) + sin(B) +sin(C)

формули на Mollweide: (a+b)/c = cos((A-B)/2)/sin(C/2); (a-b)/c = sin((A-B)/2)/cos(C/2)

тангенсова теорема: (a-b)/(a+b) = tan((A-B)/2) / tan((A+B)/2) - равенството се доказва със синусова теорема

котангенсова теорема: cot (A/2))/(p-a) = cot Bβ/2))/(p-b) = cot (C/2))/(p-c); полупериметър p = (a+b+c)/2;

синусова теорема: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R

косинусова теорема: a = √(b² + c² - 2*a*c*cos(A)); b = √(a² + c² - 2*a*c*cos(B)); c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C));

радиус на описана окръжност R = a*b*c*√(1/((a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c))

радиус на вписана окръжност r = √((a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/(4*(a+b+c))

лице на триъгълник по страни и радиус на външно вписаната окръжност към една от страните: S = 0.5*Ra*(-a + b + c) = 0.5*Rb*(a - b + c) = 0.5*Rc*(a + b - c);

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: вписан триъгълник, описан триъгълник, височини в триъгълник, тригонометрични функции, отношение между ъгли в триъгълник.