по-краткия път

В задачата за по-краткия път са дадени окръжност с координати за център, дължина на радиус, координати на две точки извън окръжността. Няма права от равнината, инцидентна с двете точки, която да не е секуща на окръжността. Търси се дължина на по-краткия път, съставен най-много от две отсечки.

Частен случай е възможните двата пътя да са равни по дължина, ако центъра на окръжността и двете точки  (1,2) са колинеарни.

Алгоритъмът на построителната задача по-краткия път съдържа следните стъпки:

последователно се посочват 3-те не колинеарни точки т.1, т.2 и т.3 - център на окръжността;

посочват се координати на т.4 за определяне на радиус, като се спазва изискването за дължина на отсечките: : 13 >34, както и 23>34; 

A) Следващото описание ползва алгоритми базирани на аналитична геометрия.

изчисляват се координати на допирната точка т.А по алгоритъм представен в допирателна;

съставя се уравнение на правата инцидентна с т.1 и т.А;

изчисляват се координати на допирната точка т.B по същия алгоритъм;

съставя се уравнение на правата инцидентна с т.2 и т.B;

изчисляват се координатите на тяхната пресечна точка - т.5 по алгоритъм представен в пресечна точка;

изчислява се дължината на пътя 1А + А5 + B5 + 2B;

по подобен начин се изчислява дължината на алтернативния път 1C + C6 + D6 + 2D.

Сравнява се дължината на двата пътя и се извежда резултата за по-краткия път.

Б) Следващото описание представя вариант на решение чрез алгоритми базирани на тригонометрия.

Разглежда се триъгълник с върхове 123, изчисляват се дължините на страните 13, 23, 12 по алгоритъм разстояние между две точки. Ако триъгълникът 123 е изроден, то това е частният случай, в който центърът на окръжността и двете външни точки са колинеарни точки и двата пътя са с равна дължина.

Чрез косинусова теорема се изчислява ъгъл 132. Този ъгъл може да бъде представен като сума от ъглите 132 = 13A + A3B + 23B = 13A + 53A + 53B + 23B. 

1. Разглежда се правоъгълния триъгълник 13A, за който са известни дължина на хипотенузата 13 - разстоянието точка-център; дължината на катета 3А - радиус на окръжността. Прилага се теорема на Питагор и се изчислява дължина на катета 1А. Чрез познати тригонометрични функции се изчислява ъгъла 13А.

2. Описаният предходен подалгоритъм се прилага за правоъгълния триъгълник 23B и се изчисляват дължина на катета 2B и размер на ъгъла 23B.

3. Четириъгълникът A3B5 е правоъгълен делтоид - ъглите 3A5 = 3B5 = 90⁰ от свойство на радиус в точка на допиране; страните 5A = 5B като допирателна от точка, външна за окръжност. В делтоид диагоналите са взаимно перпендикулярни отсечки и диагоналът 35, с крайни точки общата точка на две равни страни, разполовява диагонала AB, с крайни точки общата точка на две различни по дължина страни. Диагоналът 35 се явява и ъглополовяща на съответните ъгли - от свойство на делтоид.

4. Изчислява се ъгъл A35 = B35 = (132 - (13A +23B)/2.

5. изчислява частта от пътя A5 = B5 като катет в правоъгълен триъгълник по  дължина на катет (радиуса на окръжността) и прилагайки познати тригонометрични функции за ъгъл A35.

6. По въведена дължина на радиуса (катети 3A, 3B), размер на ъглите A35 = B35 и познати тригонометрични функции се изчислява дължина на втория катет 5A = 5B, като съответни страни в два еднакви триъгълника и като дължина на допирателна от точка външна за окръжност.

7. Изчислява се дължината на пътя 152 като сума от 1A + A5 + B5 + 2B.

по подобен начин се изчислява дължината на пътя 1C + C6 + D6 + 2D.

Сравнява се дължината на двата пътя и се извежда резултата за по-краткия път.

В) Следващото описание е едно от възможните решения и ползва полярни координати.

1. Разглежда се правоъгълния триъгълник 13A, за който са известни дължина на хипотенузата - разстоянието 13; дължината на катета 3А - радиус на окръжността. Прилага се теорема на Питагор и се изчислява дължина на катета 1А. Чрез познати тригонометрични функции се изчислява ъгъла 31А. По подобен начин се изчислява и наклон на отсечката 31. Използвайки полярни координати се изчисляват координати на т.А.

2. Описаният предходен подалгоритъм се прилага за правоъгълния триъгълник 23B и се изчисляват координати на т.B.

3. Разглежда се равнобедрения триъгълник AB3 с бедра A3 = B3 = R и дължина на основата AB изчислена по алгоритъм разстояние между две точки.

4. Прилагайки познати тригонометрични функции се изчислява ъгъл A3B.

5. Четириъгълникът A3B5 е правоъгълен делтоид - ъглите 3A5 = 3B5 = 90⁰ от свойство на радиус в точка на допиране; страните 5A = 5B като допирателна от точка, външна за окръжност. В делтоид диагоналите са взаимно перпендикулярни отсечки и диагоналът 35, с крайни точки общата точка на две равни страни, разполовява диагонала AB, с крайни точки общата точка на две различни по дължина страни. Диагоналът 35 се явява и ъглополовяща на съответните ъгли - свойство на делтоид.

6. Двата правоъгълни триъгълника 3A5 и 3B5 са еднакви по 3-ти признак. Така ъглите A35 = B35 = A3B/2.

7. Прилагайки съответните тригонометрични функции се изчислява дължина на катета A5 = B5.

8. Изчислява се дължината на пътя 152 като сума от 1A + A5 + B5 + 2B.

9. За изчисляване на пътя 162 се прилага алгоритъма описа в точки от 1 до 8.

10. Сравнява се дължината на двата пътя и се извежда резултата за по-краткия път.

В общия случай фигурите с върхове 1325 и 1326 са двойка четириъгълници, от които само единият е изпъкнал четириъгълник.  Това е и основание за решение използващо проверка принадлежност на точка към триъгълник - в случая центъра на окръжността т.3 към триъгълниците с върхове 125 и 126. По-краткият път се формира от две страни на триъгълника, за който центъра на окръжността е външна точка.

В задачата описан делтоид също се разглежда алгоритъм за окръжност, радиус и допирателна.

Вилхелм Блашке счита за начало на диференциалната геометрия представената от Йохан Бернули (1697) задача за намирането на най-къс път между две точки по дадена повърхнина.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: тригонометрични функции, описан делтоид, радиуси и допирателна.