ъглополовящи и правоъгълен триъгълник

Чрез задачата ъглополовящи и правоъгълен триъгълник се представя нагледно доказателство за връзка между окръжности. В триъгълник ABC е построена вписана и външно вписаната окръжност, допираща до страна BC. Построена е допълнителна окръжност преминаваща през пресечната точка на ъглополовящите т.O и върховете т.B и т.C. Да се докаже, че т. Qa (центъра на външно вписаната окръжност) лежи на същата окръжност.

Нагледното доказателство за задачата ъглополовящи и правоъгълен триъгълник се основава на факта, че триъгълникът OBQa е правоъгълен - вътрешната ъглополовяща BOQb и външната ъглополовяща Bqa са взаимно перпендикулярни.

От теорема на Mansion: всяка отсечка, свързваща център на вписана (т.О) с център на външно вписана окръжност (т.Qa) се дели на две равни части от описаната окръжност около същия триъгълник - в случая т.Р се явява среда на отсечката, описаната окръжност не е построена.

Алгоритъмът на построителната задача ъглополовящи и правоъгълен триъгълник съдържа следните точки:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C и се построява референтния триъгълник;

в цикъл последователно се съставят уравненията за всяка вътрешна ъглополовяща - по алгоритъм представен в ъглополовяща;

в цикъл последователно се съставят уравненията за външна ъглополовяща от всеки връх на триъгълника;

в цикъл последователно се изчисляват пресечните точки(Qa, Qb, Qc - център на поредната външно вписана окръжност) на съответната двойка вътрешна и външна ъглополовяща;

последователно се построяват ъглополовящите AQa, BQb, CQb;

в тази точка са възможни два варианта: построяване на описана окръжност около триъгълника и изчисляване на пресечните точки между описаната окръжност и построените ъглополовящи или се ползва следствие от теорема на Mansion и се изчисляват координати за средна точка на всяка от отсечките OQA (т.P), Oqb, Oqc;

построява се окръжност с център т.P и радиус OP;

от теорема на Талес - описаната окръжност около правоъгълен триъгълник има за център средата на хипотенузата;

последователно в цикъл се изчисляват разстоянията OP, OB, OC и се сравняват с радиуса на построената окръжност;

трите равенства са доказателство за основното твърдение в задачата ъглополовящи и правоъгълен триъгълник

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: ъглополовяща в правоъгълен триъгълник, ъглополовящи и симетрала, ъглополовящи и симетрали.