поризъм на Poncelet

Задачата поризъм на Poncelet (Poncelet Porism) илюстрира твърдението: ако съществува един n-ъгълник, вписан в една конична секция и едновременно описан около друга, тогава съществува безкрайно множество такива n-ъгълници със същите конични секции.

Терминът поризъм произлиза от Евклид, а самото твърдение е популяризирано от Жан-Виктор Понселе (Poncelet) в началото на XIX век. Различни доказателства и обобщения съществуват и до днес.

Съществуват различни подходи при извеждане на доказателството, както и няколко теореми свързани с негови вариации и обобщение.

Алгоритъмът на построителната задача поризъм на Poncelet (за триъгълник) съдържа следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C за върхове на референтния триъгълник;

изчисляват се координати за център и радиус на вписаната и описана окръжност;

построява се описана окръжност;

построява се вписана окръжност;

посочва се допълнителна точка, преизчисляват се нейните координати и се построява друга точка D имаща същия ъгъл на наклон, спрямо центъра на описаната окръжност и инцидентна с нея;

от т.D се построяват две допирателни към вписаната окръжност;

изчисляват се пресечните точки (т.E, т.F) на всяка от допирателните с описаната окръжност;

построява се отсечката EF;

проверява се дали отсечката EF е допирателна към вписаната окръжност (чрез алгоритъм разстояние на права до окръжност) - основно твърдение от задачата поризъм на Poncelet.

На чертежа са дадени 5 триъгълника - референтния и 4 допълнителни. Всеки от допълнителните е построен на база описания алгоритъм и не е непременно еднакъв с референтния.

Извод:

Всеки от построените триъгълници е едновременно:

вписан триъгълник - върховете на всеки отделен триъгълник са инцидентни с една и съща описана окръжност;

и описан триъгълник - страните на всеки от построените триъгълници се явяват допирателни към общата вписана окръжност.

Подобни отношения са представени и в теорема на Ойлер - свързваща радиусите и разстоянието между центъра на вписана и описана окръжност.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва задачи и теореми от областта на изчислителната геометрия. Прочетете допълнителна информация за: допирателни, описана окръжност, вписана окръжност, вписан триъгълник.