точка на Elkies

Точката на Elkies  е общата точка на три конкурентни окръжности с равни радиуси вписани в триъгълник.

Построителни задачи свързани с три окръжности за даден триъгълник са:

Теорема на Джонсън (Johnson's theorem): ако в остроъгълен триъгълник се построят 3-те  окръжности инцидентни с ортоценъра и два върха на триъгълника, то те и окръжността през техните центрове са окръжности с равни радиуси.

Теорема на Коснита (Kosnita's theorem): ако описаната около произволен триъгълник ABC окръжност е с център O, а описаните окръжности около триъгълниците OBC, OCA и OAB са съответно с центрове A’, B’ и C’, то отсечките AA', BB' и CC' се пресичат в една и съща точка, наречена точка на Коснита. Триъгълникът A’B’C’ се нарича триъгълник на Коснита.

Теорема на Драгомани: центъра на вписаната окръжност, център на външно вписана окръжност и съответните два върха на референтния триъгълник са коциклични точки.

Теорема SCI: в произволен триъгълник от равнината съществуват три окръжности с равни радиуси, като всяка от трите окръжности преминава през връх на триъгълник и средата на страните рамена на ъгъла със същия връх. 

Теорема на Тебо 3 (Sawayama Thebault's Theorem) е свързана с полувписана окръжност допираща се едновременно до чевиана, страна от триъгълник и неговата описана окръжност.

Теорема на Вериер: допирните точки на полувписаната окръжност до страните лежат на права, преминаваща през центъра на вписаната в триъгълника окръжност.

Задачата за окръжности на Malfatti (Malfatti circles) изисква построяване на три окръжности, вписани в триъгълник, така че всяка от тях се допира външно до другите две окръжности, но едновременно с това и до две от страните на триъгълника.

Задачата за окръжности на Johnson-Yff е свързана с окръжности на Yff (три вписани окръжности с еднакъв радиус се пресичат в една точка) и отразява основния извод в теоремата на Johnson - окръжностите преминаващи през два от върховете на триъгълника и неговия ортоценър имат равни радиуси. Трите пресечни точки, между всяка двойка окръжности на Yff, определят еднозначно окръжност на Johnson-Yff.

Задачата за окръжности на Yff: три окръжности с еднакъв радиус, които са допирателни до две страни от триъгълника и имат обща пресечна точка - точка на конкурентност.

Алгоритъмът на построителната задача точка на Elkies също ползва елементи от алгоритъма  представаен в окръжности с обща точка.

по въведени три не колинеарни точки се построява референтния триъгълник ABC;

изчислява се дължина на радиус и координати за център на вписана окръжност;

изчислява се дължина на радиус за описана окръжност;

изчислява се дължината на R1=r*R/(r+R), където r и R са съответно радиус на вписана и описана окръжност; 

в цикъл се изчисляват координати за център на всяка от окръжностите - инцидентен със съответната ъглополовяща и отстояща на разстояние R1 от рамената на съответния ъгъл;

в цикъл се построяват три окръжности с равни радиуси - всяка окръжност се допира до две от страните на триъгълника и пресича другите 2 окръжности в точка на Elkies, център на Кимберлинг Х55.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: медицентър и хорда, точка на конкурентност, равни радиуси, окръжност на Tucker, окръжности с обща точка.