височина в правоъгълен триъгълник

Основни задачи свързани с височина в правоъгълен триъгълник:

В правоъгълен триъгълник ABC с дължина на катети BC = a, AC = b, хипотенуза AB = c е построена височина към хипотенузата CH = hc. Докажете равенството:

hc = a*b/c;

От формула за лице на триъгълник полупроизведение на страна и височина към нея: Sabc = c*hc/2;

В правоъгълен триъгълник всеки от катетите се явява височина/перпендикуляр към другия катет.

От формула за лице на правоъгълен триъгълник полупроизведение на двата катета: Sabc = a*b/2;

Така:

Sabc = c*hc/2 = a*b/2;

c*hc = a*b;

hc = a*b/c;

В правоъгълен триъгълник ABC с дължина на катети BC = a, AC = b, хипотенуза AB = c е построена височина към хипотенузата CH = hc. Проекцията АН на катет АС върху хипотенузата е с дължина аh. Докажете равенството:

a = √(ah*c);

Разглеждат се двата подобни правоъгълни триъгълника (по IV-ти признак) AHC - хипотенуза AC и  референтния правоъгълен триъгълник ABC - хипотенуза AB имащи общ остър ъгъл BAC.

AC/AB = AH/AC; 

a/c = ah/a; 

a² = ah*c; 

a = √(ah*c); 

В правоъгълен триъгълник ABC с дължина на катети BC = a, AC = b, хипотенуза AB = c е построена височина към хипотенузата CH = hc. Проекцията ВН на катет ВС върху хипотенузата е с дължина bh. Докажете равенството:

b = √(hb*c);

Разглеждат се двата подобни правоъгълни триъгълника (по IV-ти признак) BHC - хипотенуза BC и  референтния правоъгълен триъгълник ABC - хипотенуза AB имащи общ остър ъгъл ABC.

BC/AB = BH/BC; 

b/c = bh/b; 

b² = bh*c; 

b = √(bh*c); 

В правоъгълен триъгълник ABC с дължина на катети BC = a, AC = b, хипотенуза AB = c е построена височина към хипотенузата CH = hc. Проекцията на катет АС върху хипотенузата е с дължина  АН = ah, проекцията BH на катет ВС върху хипотенузата е с дължина bh. Докажете равенството:

hc =√(ah*bh); 

Разглеждат се двата подобни правоъгълни триъгълника AHC - хипотенуза AC, BHC - хипотенуза ВC , всеки от които е подобен на референтния правоъгълен триъгълник ABC по IV-ти признак. 

a/b = ah/hc = hc/bh; 

hc² = ah*bh; 

hc = √(ah*bh); 

За правоъгълен триъгълник ABC с дължина за проекции на катети AH = ah, BH = bh и височина към хипотенузата CH = hc да се докаже равенството: 

(a/b)² = ah/bh; 

Разглеждат се двата подобни правоъгълни триъгълника (по IV-ти признак) AHC - хипотенуза AC и  референтния правоъгълен триъгълник ABC - хипотенуза AB, двата правоъгълни триъгълника имат общ остър ъгъл BAC.

a/c = ah/a; 

a² = ah*c; 

Разглеждат се двата подобни правоъгълни триъгълника (по IV-ти признак) BHC - хипотенуза BC и  референтния правоъгълен триъгълник ABC - хипотенуза AB, двата правоъгълни триъгълника имат общ остър  ABC. 

b/c = bh/b; 

b² = bh*c; 

От изведените стойности за равенства се образува пропорцията:

a²/b² =  (ah*c)/(bh*c); 

a²/b² =  ah/bh; 

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължини на две отсечки e,f представящи връзка между височина към хипотенуза hc и  дължина за проекции на катети AH = ah, BH = bh. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

ah = hc + e; 

bh = hc - f; 

ah*bh = (hc)² - следствие от теорема на Питагор; 

(hc + e)*( hc - f) = (hc)²; 

(hc)² + hc*(e - f) - e*f =  (hc)²;

височина към хипотенузата CH:  hc = e*f/(e - f); 

проекция на катет AC: ah = hc + e; 

проекция на катет BC: bh = hc - f; 

дължина на хипотенуза AB: c = ah + bh; 

дължина на катет AC: b = √(bh*c); 

дължина на катет BC: a =  √(ah*c); 

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени: дължина на хипотенуза AB = c и дължина AH = ah проекция на катет AC. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

дължина на катет BC: a =  √(ah*c); 

дължина на катет AC: b = √(c² - a²) - от формула на Питагор;;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени: дължина на хипотенуза AB = c и дължина BH = bh проекция на катет BC. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

дължина на катет AC: b = √(bh*c); 

дължина на катет BC: a = √(c² - b²) - от формула на Питагор;;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължини на: височина hc и медиана mc към хипотенузата AB. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник. 

дължина на хипотенуза AB: c = 2*mc - следствие от теорема на Талес; 

височината и медианата към хипотенузата образуват правоъгълен триъгълник CHM с катет hc и хипотенуза mc. Катетът HM = е дава възможност за изчисляване дължините на проекциите ah, bh на двата катета. В следващите редове е прието допускането AC<BC, от което следва същото отношение за техните проекции ah < bh.

от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник  CHM, дължина на катет HM: e = √(mc² - hc²);

дължина на проекция ah = mc - e;

дължина на проекция bh = mc + e;

проверка с = ah +  bh = mc - e + mc + e = 2*mc;

дължина на катет AC: b = √(bh*c);

дължина на катет BC: a =  √(ah*c);

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължини на: височина hc към хипотенузата AB и R - радиус на описаната окръжност. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

дължина на хипотенуза AB: c = 2*R - следствие от теорема на Талес;

извършва се допълнително построяване на медиана CM към хипотенузата с дължима mc = R = c/2  - от теорема на Талес;

височината и медианата към хипотенузата образуват правоъгълен триъгълник CHM с катет hc и хипотенуза mc. Катетът HM = е дава възможност за изчисляване дължините на проекциите ah, bh на двата катета. В следващите редове е прието допускането AC<BC, от което следва същото отношение за техните проекции ah < bh.

следващите стъпки на алгоритъма повтарят решението от предходната задача;

от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник  CHM, дължина на катет HM: e = √(mc² - hc²);

дължина на проекция ah = mc - e;

дължина на проекция bh = mc + e;

дължина на катет AC: b = √(bh*c);

дължина на катет BC: a =  √(ah*c);

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължини на: катет AC = b и дължина на неговата проекция върху хипотенузата AH = ah. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

височина към хипотенуза CH: hc = √(b² - ah²) - от формула на Питагор за правоъгълен триъгълник AHC;

от уравнение hc = √(ah*bh) (от подобните правоъгълни триъгълници AHC, BHC) следва bh = hc²/ac; 

дължина на хипотенуза АВ: с = аh + bh;

от уравнение за дължина на катет BC: a = √(c*ah) или а = √(hc² + bh²); 

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължини на: катет BC = a и дължина на неговата проекция върху хипотенузата BH = bh. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени дължини на: хипотенуза AB = c и дължина на височината към нея CH = hc. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

дължината на хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на сумата от дължините на проекциите на двата катета: c = ah + bh;

от формула за дължина на височина към хипотенуза: hc = √(ah*bh); 

съставя се система уравнения

ah*bh = hc²;

ah + bh = c; 

съставя се квадратно уравнение, замества се: ah = c  - bh;

(c - bh)*bh = hc²; 

bh² - с*bh - hc² = 0

изчислява се квадратното уравнение с неизвестно bh;

изчислява се дължина на проекцията АН: ah = c  - bh; 

изчислява се дължина на катет ВС: a = √(c*ah); 

изчислява се дължина на катет АС: b = √(c*bh); 

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени: дължина на височината към хипотенузата CH = hc и P - периметър на триъгълника. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

от формула за лице на правоъгълен триъгълник S = c*hc/2 = a*b/2  се извежда: a*b = c*hc ;  

a+b = P - c - от формула за периметър

от формула за съкратено умножение: (a + b)² = a² + 2*a*b + b² и теорема на Питагор c² = a² + b²   

(P - c)² = a² + 2*a*b + b² = c² + 2*c*hc;

P² - 2*P*c + c² - c² - 2*c*hc = 0

c *(2*P + 2*hc) = P²

c = P²/(2*P + 2*hc)

лице на правоъгълен триъгълник: S = c*hc/2;

от a*b = c*hc  следва a = c*hc/b;

a + b = P - c;

системата уравнения се редуцира до квадратно уравнение

c*hc/b + b - P + c = 0

b² - (P - c)*b + c*hc = 0 - решава се кавдратнот уравнеие и се взема положителния корен за дължина на катет AC; 

дължина на катет BC: a = P - b - c;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени: ължина на височината към хипотенузата CH = hc и остър ъгъл BAC = α. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

дължина на катет AC: b = hc/sin(α);

дължина на катет BC: a = b*tan(α);

дължина на хипотенуза AB: c = √(a² + b²);

периметър P = a + b + c;

лице S = a*b/2;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени: ължина на височината към хипотенузата CH = hc и остър ъгъл ABC = β. Да се изчислят страните на правоъгълния триъгълник.

Да се реализира проект на тема: височина в правоъгълен триъгълник.

Чрез проекта да се изчислява елементи в правоъгълен триъгълник по зададени два параметъра от набора: дължина на катет, хипотенуза, височина, остър ъгъл.

Разгледайте други реализирани примерни проекти, за които е ползвана подобна логическа структура на графичните обекти и/или приложени сходни алгоритми: теореми и формули, триъгълник, вписана окръжност в правоъгълен триъгълник, правоъгълен триъгълник, вписана, описана и външновписана окръжност.