перпендикуляр

Понятието перпендикуляр (в геометрия) често се приема като синоним на височина, отвес и се свързва с: отсечка между точка и проекцията ѝ върху права, равнина; с отсечки/прави/равнини сключващи прав ъгъл.

Две прави/отсечки са перпендикулярни, ако образуваните между тях ъгли (връхни и съседни) са равни на 90⁰.

перпендикуляр е отсечката, принадлежаща на симетралата, свързваща център на описана окръжност и средата на страна в същия триъгълник;

перпендикуляр е отсечката свързваща ортоцентъра с проекцията му върху страна от триъгълник;

височината в триъгълник/многоъгълник е перпендикулярна отсечка между връх на триъгълника и срещу лежаща страна;

перпендикуляр е апотемата в правилен многоъгълник, свързваща центъра на описаната окръжност със среда на страна;

взаимно перпендикулярни отсечки са катетите в правоъгълен триъгълник;

взаимно перпендикулярни отсечки са всяка двойка съседни страни в квадрат и правоъгълник;

взаимно перпендикулярни отсечки са двете двойки основа и по-късото бедро в правоъгълен трапец;

взаимно перпендикулярни отсечки са диагоналите в ромб, квадрат, делтоид, както и във всеки ортодиагонален четириъгълник;

в успоредник взаимно перпендикулярни са двойка ъглополовящи на ъгли от една и съща страна;

в триъгълник взаимно перпендикулярни са двойка ъглополовящи на двойка съседни ъгли;

в прав цилиндър образувателната е перпендикулярна на основите;

в права призма всеки околен ръб е перпендикулярен на съответните два основни ръба;

в теоремата за допирателна радиусът (диаметърът) на окръжността в точката на допиране е перпендикуляр към правата;

в две успоредни прави, принадлежащи на една и съща равнина, има безкрайно много перпендикуляри всеки с дължина разстоянието между двете прави;

ако двойка прави a,b са едновременно перпендикулярни на трета права c, то правите a||b са успоредни прави;

оста-отсечка е перпендикуляр едновременно към две кръстосани прави и е най-малкото разстояние между тях;

теорема на трите перпендикуляра: Нека са дадени: равнина α, права a, принадлежаща на равнина α, права b, наклонена към равнината α и имаща прободна точка B и ортогонална проекция b1. Правата a е перпендикулярна на права b, ако е перпендикулярна на ортогоналната ѝ проекция - a⊥b, ако a⊥b1;

две равнини са перпендикулярни, ако рамената на двустенния ъгъл са перпендикулярни на пресечницата на двете равнини;

следствия:

височината е най-малкото разстояние от връх на триъгълник/многоъгълник към срещулежащата страна;

чрез перпендикуляр се доказва, че центърът на вписаната окръжност окръжност се намира на равни разстояния до страните на същия триъгълник;

в четириъгълник, средната височина (maltitude) е перпендикуляр от средата на страна към срещулежащата страна или нейно продължение;

перпендикулярът от точка към права / равнина е по-малък от всяка наклонена към същата права / равнина - основен алгоритъм разстояние от точка до права. Разстоянията се изчисляват чрез теорема на Питагор където хипотенуза е разстоянието между разглежданата точка и прободната / пресечната точка на наклонената с равнината/правата, катети: перпендикулярът свързващ точката с перпендикулярната ѝ проекция, и отсечката свързваща перпендикулярната проекция с прободната / пресечната точка;

оста-отсечка е най-малката от всички трансверзали и перпендикуляр между две кръстосани прави;

отсечки, принадлежащи на перпендикулярни прави, са взаимно перпендикулярни отсечки;

чрез перпендикуляр се извежда твърдението, че всяка точка от ъглополовяща на ъгъл се намира на равни разстояния от рамената на същия ъгъл;

чрез перпендикуляр се доказва, че произволна точка от успоредник се намира на една и съща обща сума от разстоянията до страните на същия успоредник;

в равнобедрен триъгълник перпендикуляр към основата е: права Ойлер, както и височина, медиана и ъглополовяща от срещулежащия връх;

в окръжност, диаметърът разполовяващ хорда е и перпендикулярен на хордата.

Известни задачи и теореми свързани с перпендикуляр:

Една от най-старите известни задачи за перпендикуляр е на Талес за изчисляване разстояние на кораб от брега.

задачата за измерване височината на отдалечен обект (пирамида) се свързва с обобщена теорема на Талес;

теорема на Брахмагупта: ако вписаният четириъгълник е с дължини на страните a,b,c,d и на диагоналите e,f , то е изпълнено равенството: a*c+b*d = e*f. Ако т.O е пресечна точка на диагоналите, то е изпълнено равенството: OA*OC=OB*OD.  Друга теорема извежда формула за лице на вписан четириъгълник: S = sqr((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)).

теорема на ван Обел за четириъгълник (van Obel theorem, van Aubel theorem): ако на всяка от страните на произволен несамопресичащ се четириъгълник са построени квадрати, то отсечките, свързващи центровете на срещулежащите квадрати, са равни по дължина и са взаимно перпендикулярни;

построителната задача за симетрала в равнобедрен триъгълник е класически пример за построяване на перпендикуляр.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: правоъгълник, квадрат, ромб, ортоцентър, височина, отсечка.