педални окръжности

Задачата за педални окръжности е свързана с произволен четириъгълник ABCD, точка т.Q от него и нейните проекции върху страните т..1, т.2, т.3, т.4 и двата диагонала т.5, т.6. В образуваните 4 триъгълника всяка от точките е инцидентна със страна на 2 триъгълника. Построени са 4 педални окръжности, всяка от които е инцидентна с 3 от изброените точки - за триъгълника ABC - 125; BCD - 236, CDA - 345, DAB - 416. Доказва се твърдението, че изброените педални окръжности са конкурентни - с обща пресечна точка Q.

Името педални окръжности е свързано с факта, че всяка от построените окръжности е инцидентна едновременно с 3 педални точки. Ще ползваме следното определение за педална точка (в геометрията) - пресечна точка на перпендикуляр от точка към страна на триъгълник. За подробности относно педален триъгълник разгледайте и ортоцентър.

Алгоритъмът на построителната задача педални окръжности съдържа следните стъпки:

посочват се 4 точки A, B, C, D в които няма нито една група от 3 колинеарни точки;

в цикъл точките се свързват с отсечки, построяват се диагоналите на четириъгълника;

посочва се точка T вътрешна за четириъгълника;

в цикъл се построява перпендикуляр към всяка (T1, T2, T3, T4) от страните на четириъгълника и двата диагонала (T5, T6) - по алгоритъм представен в ортоцентър на триъгълник ;

в цикъл се изчисляват координати за пресечна точка (т.1, т.2, т.3, т.4, т.5, т.6) между построения перпендикуляр и съответната страна/диагонал - по алгоритъм пресечна точка на отсечки;

в цикъл се построяват 4 окръжности всяка от тях инцидентна с група от 3 различни точки (125, 236, 345, 416) - алгоритъм окръжност по 3 точки;

построяват се пресечните точки на всеки две окръжности по алгоритъм представен в конкурентни окръжности;

изчислява се пресечната точка на отсечките, свързващи двойка противостоящи окръжности;

изчислява се разстоянието между тази пресечна точка и вече изчислените координати за пресечни точки на двойките окръжности - една от точките във всяка група има 0-во разстояние с пресечната точка на двете отсечки.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: конкурентни окръжности, четириъгълник, ортоцентър на триъгълник, перпендикуляри, ортоцентрична педална окръжност.