ромб

Ромб е изпъкнал четириъгълник, успоредник с равни страни.

При извеждане на формулите са използвани следните означения за ромб с върхове A, B, C, D:

страна AB = AD = a;

диагонал BD = e;

диагонал AC = f;

остър ъгъл ∠α = ∠BAD = ∠BCD;

към същата страна прилежащ ъгъл ∠β = ∠ABC = ∠ADC;

От свойства на успоредник - срещулежащите страни са успоредни, срещулежащите ъгли са равни, около ромб не може да се опише окръжност, в ромб може да се впише окръжност - диагоналите на ромба са и ъглополовящи на съответните ъгли.

Ъгъл с рамена височини на ромб от един и същи връх е допълващ ъгъл (до 180⁰) на ъгъла на срещулежащия връх на ромба.

Начин за задаване на ъгъла е чрез стойност на тригонометрична функция като отношение височина:страна или височина:диагонал.

Свойства на диагонали в ромба: разполовяват се от пресечната си точка, взаимно перпендикулярни са, разполовяват ъглите на ромба и са негови оси на симетрия. Златен ромб е ромб, чиито диагонали e, f са в златна пропорция f / e = φ, където φ е число на Фидий, ирационално число φ ≈ 1.618.

Дължината на диагоналите се изчислява чрез косинусова теорема за съответните равнобедрени триъгълници.

В следващите редове са описани формули за лице на ромб, дължина на страна и диагонали:

лице на ромб чрез страна и височина S = a*h - както лице на успоредник

лице на ромб чрез страна и ъгъл S = a*h = a*a*sin(α) = a²*sin(α)

лице на ромб чрез периметър и ъгъл S = a*h = a*a*sin(α) = sin(α)*(P/4)² = sin(α)*P²/16;

лице на ромб чрез диагонали S = e*f/2 - диагоналите в ромб са взаимно перпендикулярни. Проектира се единият диагонал в началото на другия диагонал, преместването е с дължината на страната на ромба. От правоъгълен триъгълник с катети e, f и хипотенуза 2a (удвоената страна на ромба) се изчислява лицето St = e*f/2, което е и лице на референтния ромб.

височина на ромб чрез страна и ъгъл h = a*sin(α) - от правоъгълен триъгълник с хипотенуза страна на ромб;

височинана ромб чрез диагонали и страна h = S/a = e*f/(2*a) - от правоъгълен триъгълник с хипотенуза страна на ромб;

височинана ромб чрез диагонали h = S/a = e*f/(2*0.5*√(e^2 + f^2))

страна на ромб чрез диагонали: a² = (e² + f²)/4 - следствие от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник с катети e, f, хипотенуза 2*a и остри ъгли α/2, β/2;

диагонал на ромб: f = 2*a*cos(α/2) = 2*a*sin(β/2) - от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник с катети e, f, хипотенуза 2*a и остри ъгли α/2, β/2;

диагонал на ромб: f = √(2*a²*(1-cos(β))) - от косинусова теорема за равнобедрен триъгълник;

диагонал на ромб: e = 2*a*sin(α/2) = 2*a*cos(β/2) - от теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник с катети e, f, хипотенуза 2*a и остри ъгли α/2, β/2;

диагонал на ромб: e = √(2*a²*(1-cos(α))) - от косинусова теорема за равнобедрен триъгълник

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2 = a*sin(α)/2

В разгледаните основни задачи за ромб по въведени стойности на два елемента се изчисляват: диагонали, ъгли, радиус на вписана окръжност, периметър и лице на ромб.

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: a - дължина на страна и e - диагонал.

от правоъгълния триъгълник ABO sin(α/2) = а/(0.5*е); ъгъл: α = 2*arcsin(2*a/e)

ъгъл: β = π - α

лице на ромб чрез страна и ъгъл S = sin(α)*a²;

диагонал на ромб: f = 2*a*cos(α/2);

височина на ромб: h = S/a;

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2;

периметър на ромб: P = 4*a;

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: a - дължина на страна и f - диагонал.

от диагонал на ромб: f = 2*a*cos(α/2) ъгъл: α = 2*arccos((f/(2*a));

ъгъл: β = π - α

лице на ромб чрез страна и ъгъл S = sin(α)*a²;

диагонал на ромб: e = 2*a*sin(α/2);

височина на ромб: h = S/a;

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2;

периметър на ромб: P = 4*a;

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: a - дължина на страна и h - височина.

лице на ромб: S = a*h;

от формулата за лице на ромб чрез страна и ъгъл S = sin(BAD)*a² ъгъл: α = arcsin( S/a²);

ъгъл: β = π - α;

диагонали на ромб: f = 2*a*cos(α/2); e = 2*a*sin(α/2);

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2;

периметър на ромб: P = 4*a;

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: a - дължина на страна и α - ъгъл в ромба.

лице на ромб чрез страна и ъгъл S = sin(α)*a²;

височина на ромб: h = S/a;

диагонали на ромб: f = 2*a*cos(α/2); e = 2*a*sin(α/2);

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2;

периметър на ромб: P = 4*a;

ъгъл: β = π - α;

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: a - дължина на страна и β - ъгъл в ромба.

ъгъл: α = π - β;

лице на ромб чрез страна и ъгъл S = sin(α)*a²;

височина на ромб: h = S/a;

диагонали на ромб: f = 2*a*cos(α/2); e = 2*a*sin(α/2);

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2;

периметър на ромб: P = 4*a;

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: a - дължина на страна и r - радиус на вписаната окръжност в ромб

височина на ромб: h = 2*r;

лице на ромб: S = h*a;

ъгъл: α = arcsin(S/a²);

ъгъл: β = π - α;

диагонали на ромб: f = 2*a*cos(α/2); e = 2*a*sin(α/2);

периметър на ромб: P = 4*a;

Изчислете h - височина и e - диагонал в ромб по въведени: a - дължина на страна и S - лице на ромб.

височина на ромб: h = S/a;

ъгъл: α = arcsin( S/a²);

ъгъл: β = π - α;

диагонали на ромб: f = 2*a*cos(α/2); e = 2*a*sin(α/2);

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2;

периметър на ромб: P = 4*a;

Изчислете P - периметър и S - лице на ромб по въведени: e и f - дължина на диагонали.

от формула на Питагор за правоъгълен триъгълник с катети e,f и хипотенуза 2*a страна на ромб: a = 0.5* √(e² + f²));

ъгли в ромб: α = 2*arccos(f/(2*a)); β = π - α;

височина на ромб: h = S/a;

радиус на вписаната окръжност в ромб: r = h/2;

периметър на ромб: P = 4*a;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: диагонали в ромб, лице на ромб, ромб и окръжност.