В задачите отношения в триъгълник се разглежда разностранен триъгълник линеен размер и отношение между два или повече основни елемента - страни или ъгли. Спазва се подходът SAS (Side Angle Side) при групиране на 3 основни елемента. Чрез обратни тригонометрични функции, с аргумент отношения между два линейни размера, се изчислява стойност на прилежащи/срещулежащи ъгли.
При изчисляване размер на радиус / страна се ползват формули от синусова/косинусова теорема и тригонометрични функции. Представени са параметрични решения на отделните типови задачи, само базовия вариант - останалите варианти се получават чрез пермутация на ъгли/страни/височини/ъглополовящи.
Изчислете елементите на триъгълник по: страна a, k = a/b отношението със страна b и прилежащият ъгъл А.
b = a/k; височина hc = b*sin(A);
радиус на описаната окръжност R = a/(2*sin(A));
ъгли B = arcsin(b/(2*R)); C = pi-A-B;
страна c = 2*R*sin(C);
лице на триъгълник S = c*hc/2;
височини ha = 2*S/a; hb = 2*S/b
Изчислете елементите на триъгълник по: страна а, височина hc и отношение Q = a/b между дължините на две страни.
b = a/Q;
ъгли в триъгълник A = arcsin((hc/b); B = arcsin((hc/a); C = π - (A + B);
радиус на описаната окръжност R = a/(2*sin(A); c = 2*R*sin(C);
лице на триъгълник S = c*hc/2;
височини ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; периметър: P = a+b+c
Изчислете елементите на триъгълник по: страна a, отношение между дължини на страни Qa/Qb = a/b и височина ha към една от страните.
страна b = a*Qb/Qa; ъгъл C = arcsin(ha/b); страна c = √( a² + b² - 2*a*b*cos(C));
радиус на описаната окръжност R = a/(2*cos(C));
ъгли A = arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R));
лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);
височини hb = 2*S/b; hc = 2*S/c
Изчислете елементите на триъгълник по: страна a, отношение между дължини на страни Qa/Qb и лице на триъгълник S.
b = a*Qb/Qa; ъгъл C = arcsin(2*S/(a*b)); c =√(a² + b² - 2*a*b*cos(C));
радиус на описаната окръжност R = c/(2*sin(C));
ъгли B = arcsin(2*R/b); A = arcsin(2*R/a);
височини ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c
Изчислете елементите на триъгълник по: страна a, отношение между дължини на страни Qa/Qb и периметър P.
страни: b = a*Qb/Qa; c = P -(a+b); p =P/2;
лице на триъгълник S = √(p*p-a)*(p-b)*(p-c));
височини ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;
радиус на описаната окръжност R = a*b*c/(4*S);
ъгли A = arsin(a/(2*R)); B = arsin(b/(2*R)); C= arsin(c/(2*R))
Изчислете елементите на триъгълник по: страна a и отношенията с другите две страни Qa:Qb, Qa:Qc.
страни b = a*Qb/Qa; c = a*Qc/Qa; P = a+b+c; p = (a+b+c)/2;
лице на триъгълник S = √(p*p-a)*(p-b)*(p-c));
височини ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;
радиус на описаната окръжност R = a*b*c/(4*S);
ъгли A = arsin(a/(2*R)); B = arsin(b/(2*R)); C = arsin(c/(2*R))
Изчислете елементите на триъгълник по: страна a, отношение между страните a:b = Qa:Qb и радиус на описаната окръжност R.
b = a*Qb/Qa;
ъгли в триъгълник A = arcsin(2*R/a); B = arcsin(2*R/b); C = π -(A+B);
c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C)); лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);
височини ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c
Изчислете елементите на триъгълник по: страна а, височина ha към нея и отношение Q=ha/hb с височина hb към друга страна.
височина hb = ha/Q;
лице на триъгълник S = a*ha/2; b=2*S/hb;
ъгъл C = arcsin(ha/b); страна c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C)); височина hc = 2*S/c;
радиус на описаната окръжност R = c/(2*sin(C);
ъгли A = arcsin(hb/c); B = arcsin(ha/c)
Изчислете елементите на триъгълник по: страна а и височина hb, отношение Q = ha/hb с височината hc (към другите 2 страни).
hb = ha/Q;
ъгли в триъгълник B = arcsin(a/hc); C = arcsin(a/hb); A = π - B - C;
радиус на описаната окръжност R = a/(2*sin(A);
страни b = 2*R*sin(B); c = 2*R*sin(C); периметър P = a+b+c;
лице на триъгълник S = c*hc/2
Изчислете елементите на триъгълник по: ъгъл C и височина hb, и отношението между височините Q = hb:ha.
ha = hb/Q;
страни a = hb/cos(C); b = ha/cos(C); c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C));
лице на триъгълник S = a*ha/2;
радиус на описаната окръжност R = c/2*sin(C);
височина hc = 2*S/c; периметър P = a+b+c
Изчислете елементите на триъгълник по: ъгъл C и височина hb, и отношението между височините Q = hb:hc.
hc = Q/hb; a = hb/sin(C);
ъгли B = arcsin(hc/a); A = π - B - C;
радиус на описаната окръжност R = a/2*sin(A);
страни b = 2*R*sin(B); c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C));
лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);
височина ha=2*S/a
Изчислете елементите на триъгълник по: ъгъл C, височина ha, и отношение между другите два ъгъла Oa/Ob.
O = π - C; A = O*Oa/(Oa+Ob); B = O*Ob/(Oa+Ob);
b = ha*sin(A);
радиус на описаната окръжност R = b/(2*sin(B));
страни a = 2*R*sin(A); c = 2*R*sin(C);
лице на триъгълник S = a*ha/2;
височини hb = 2*S/b; hc = 2*S/c
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: лице на триъгълник, вписан триъгълник, описан триъгълник, тригонометрични функции, ъгли в триъгълник.