вписан триъгълник

В окръжност могат да се впишат неопределен брой триъгълници, около триъгълник може да се опише само една окръжност, имаща за център пресечната точка на симетралите.

Центърът на вписаната окръжност, центърът на описаната окръжност определят еднозначно права на Ойлер. Инцидентни с нея са: медицентър, ортоцентър, центъра на описаната окръжност преминаваща през центровете на трите външно вписани окръжности.

Разглежда се геометрична задача за вписан триъгълник, в която се доказва равенството AC*BC = 2*R*CH.

Алгоритъмът на построителната задача вписан триъгълник съдържа следните стъпки:

по посочени 3 не колинеарни точки се построява референтния триъгълник ABC;

в цикъл последователно се построяват симетралите към страните и се изчисляват координати на тяхната пресечната точка т.О;

изчислява се дължина на радиус R и се построява описаната окръжност;

построява се височина CH - по алгоритъм перпендикуляр от точка към права;

построява се диаметър BD с начало т.C - така правоъгълникът DBC е правоъгълен (теорема на Талес);

последователно се изчислява дължина за всяка отсечка AC, BC, CH;

проверява се равенството AC*BC = 2*R*CH.

Друг подход за решаване на същата задача е чрез доказване на подобност на двата правоъгълни триъгълника ▲AHC и ▲BDC (съответните ъгли ∠BDC= ∠BHC т.к. споделят една и съща дъга) и извеждане на отношение между съответните страни CD/AC = BC/CH в подобните триъгълници.

В представените примерни задачи се разглеждат формули за изчисляване дължина на височина в триъгълник, отношение между периметър и радиуси, лице на триъгълник, отношение между ъгли в триъгълник.

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени 3 страни a,b,c.:

полупериметър p = (a+b+c)/2;

лице на триъгълник S = √(p*p-a)*(p-b)*(p-c));

височини ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c; R = a*b*c/(4*S);

ъгли A = arsin(a/(2*R)); B = arsin(b/(2*R)); C = arsin(c/(2*R));

радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S)

радиус на вписана окръжност: r = S/p;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени 2 страни a,b и сключения между тях ъгъл C:

дължина на страна: c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C));

радиус на описана окръжност: R = c/(2*sin(C));

ъгли в триъгълник: A = arcos((-a² + b²+c²)/( 2*b*c)) или A = arcsin (a/(2*R); B = π - A - C;

лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);

дължини на височини: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

периметър на триъгълник: P = a+b+c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени 2 страни a,b и прилежащият ъгъл А:

височина hc = b*sin(A),

радиус на описана окръжност: R = a/2*sin(A);

ъгли в триъгълник: B=arcsin(b/(2*R)); C = pi-A-B;

дължина на страна: c = 2*R*sin(C);

лице на триъгълник S = c*hc/2;

дължини на височини: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени 2 страни a,b и височина hc към третата страна:

дължина на страна c = √(a² - hc²) + √(b²-hc²);

лице на триъгълник S = c*hc/2;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

ъгли в триъгълник: A = arcsin(hc/b); B = arcsin(hc/a); C=pi - A - B;

радиус на описана окръжност: R = c/(2*sin(C));

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

дължини на височини: ha = 2*S/a; hb = 2*S/b;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: 2 страни a,b и височина ha към една от страните:

C = arcsin(ha/b);

c = √( a² + b² - 2*a*b*cos(C));

радиус на описана окръжност: R = a/(2*cos(C));

A = arcsin(a/(2*R)); B = arcsin(b/(2*R));

лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R);

hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: 2 страни a,b и лице на триъгълник S:

от формулата за лице на триъгълник: S = 0.5*a*b*sin(C);

arcsin(C) = (2*S/(a*b));

c =√(a² + b² - 2*a*b*cos(C));

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на описана окръжност: R = c/(2*sin(C));

B = arcsin(2*R/b); A = arcsin(2*R/a);

ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: 2 страни a,b и периметър P:

c = P -(a+b); p = P/2;

лице на триъгълник S = √(p*p-a)*(p-b)*(p-c));

ha = 2*S/a; hb = 2*S/b; hc = 2*S/c;

радиус на описана окръжност: R = a*b*c/(4*S);

A = arsin(a/(2*R)); B = arsin(b/(2*R)); C= arsin(c/(2*R));

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: 2 страни a,b и радиус на описаната окръжност R:

A = arcsin(2*R/a); B = arcsin(2*R/b); C = π -(A+B);

c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C));

лице на триъгълник: S =a*b*c/(4*R);

ha=2*S/a; hb=2*S/b; hc=2*S/c;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: страна а, височина ha към нея и височина hb към друга страна:

лице на триъгълник S = a*ha/2;

b = 2*S/hb;

C = arcsin(ha/b);

c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C));

hc = 2*S/c;

радиус на описана окръжност: R = c/(2*sin(C);

A = arcsin(hb/c); B = arcsin(ha/c);

периметър на триъгълник: P=a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: страна а и височини hb, hc към другите 2 страни:

B = arcsin(a/hc); C = arcsin(a/hb); A = π - B - C;

радиус на описана окръжност: R = a/(2*sin(A);

b = 2*R*sin(B); c = 2*R*sin(C);

периметър на триъгълник: P = a+b+c;

лице на триъгълник S = c*hc/2;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Да се изчисли лице на триъгълник по дадени: ъгъл C и височини hb, hc към другите 2 страни:

a = hb/sin(C); B = arcsin(hc/a); A = π - B - C; R =a/2*sin(A); b = 2*R*sin(B); c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C)); лице на триъгълник S = a*b*c/(4*R); ha=2*S/a;

B = arcsin(hc/a); A = π - B - C;

радиус на описана окръжност: R = a/2*sin(A);

b = 2*R*sin(B); c = √(a² + b² - 2*a*b*cos(C));

лице на триъгълник: S = a*b*c/(4*R); ha=2*S/a;

ha=2*S/a;

периметър на триъгълник: P = a + b + c;

радиус на вписана окръжност: r = 2*S/P;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: периметър, отношение между ъгли в триъгълник, описан триъгълник, поризъм на Poncelet.