медицентър и хорда

Геометричната задача за медицентър и хорда е свързана с отсечки от хорда, инцидентна с  медицентъра на вписан триъгълник. 

През медицентъра на вписания триъгълник ABC е построена хорда KN, успоредна на страната AB. Страните на триъгълника отсичат от хордата отсечки DE (ACxDG ->E), EF, FG (BCxDG ->F). Изчислете радиуса на описаната окръжност на триъгълника, ако са въведени дължините на страната AB, и отсечките DE, FG на хордата.

Условието е пример за преговорна задача с няколко ключови момента: свойство на медицентър, обобщена теорема на Талес, свойство на пресичащи се хорди, група формули и теореми за изчисляване на елементи в триъгълник. Началните данни дават възможност за изчисляване дължини на страни и стойност на ъгли в триъгълника. Търсеният размер, в случая радиус на описаната окръжност е само пример. Със същия успех това може да бъде радиуса на вписаната окръжност, радиуса на външно вписаната окръжност или дължината на медианата/височината/ъглополовящата, размер на ъгли и т.н. Реализираният проект дава нагледно доказателство за отношенията между дължините на отделните отсечки. Следващите редове описват параметричното решение на задачата.

За чертежа точки Ma, Mb, Mc са пети на медиани и среди на съответните страни.

От свойство на медицентър в триъгълник - дели всяка медиана в отношение 2:1 считано от връх на триъгълника:  CM:MMc = 2:1, както и свойство на средна отсечка в триъгълника AB=2*EF

От обобщена теорема на Талес (Intercept_theorem): доказваща равенство при отношенията между дължини на отсечки, създадени от пресичане рамената на ъгъл (ACB) с две успоредни прави (AB||DG): 

CE:AE = CM:MMc = CF:BF = 2:1

CE = 2*AC/3;  AE = AC/3;  CF = 2*BC/3; BF=BC/3

От свойство на пресичащи се хорди  ACxDG, BCxDG

AE*CE = GE*DE  -> (AC/3)*(2*AC/3) = (FG+EF)*DE  -> AC² = 9*(FG+AB/2)*DE/2

BF*CF = DF*FG  ->  (BC/3)*(2*BC/3) = (DE+EF)*FG  -> BC² = 9*(DE + AB/2)*FG/2

При вече изчислени дължини на страните  алгоритъмът може да бъде разклонен:

а) чрез използване на тригонометрични функции: косинусова теорема за изчисляване един от ъглите,  синусова теорема за търсеният радиус;

б) лице на триъгълника:  формула на Херон S=sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),  търсеният радиус чрез формулата R =a*b*c/(4*S).

Алгоритъмът на построителната задача медицентър и хорда съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

в цикъл се построява поредната медиана (AМa, BMb, CMc) от референтния триъгълник - тяхната пресечна точка т.М е медицентър за триъгълника и център на тежестта;

изчисляват се координати за център, дължина на радиус и се построява описана окръжност;

през медицентъра се построява права, успоредна на избрана страна на триъгълника - по алгоритъм построяване на права през точка и успоредна на друга права;

изчисляват се координатите на пресечните точки на правата с окръжността - по алгоритъм представен в хорда;

изчисляват се координатите на пресечните точки на правата със страните на триъгълника - по алгоритъм представен в пресечна точка на две отсечки.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: медицентър, триъгълник, хорда, окръжност, равни радиуси.