верига на Пап

В задачата верига на Пап (Pappus chain) се разглежда серия окръжности, всяка от които се допира външно до две окръжности и вътрешно до трета окръжност.

Начални данни за задачата са три окръжности с различен радиус. Двете окръжности са изцяло вписани в трета (покриваща окръжност) и всяка от тях има допирна точка с покриващата и с другата окръжност -  сумата от диаметрите на двете окръжности е равна на диаметъра на покриващата.

Случаят, в който две от началните окръжности са с равен диаметър, е разгледан в арбелос и архимедови окръжности.

Центровете на началната тройка окръжност са колинеарни точки. В задачата верига на Пап се изисква построяване на допълнителен набор окръжности, всяка от които се допира поне до две от началните окръжности имащи по-големия диаметър.

Задачата може да се разглежда като класическа задача от  множеството аполониеви задачи. Подобни са за покриваща окръжност в окръжности на Soddy или на покриващата окръжност в теорема на Декарт. Построението е възможно при определени условия - центровете на трите вписани окръжности да образуват триъгълник с пределна стойност на най-големия ъгъл в него.

Всяка от построените допълнителни окръжности, от задачата верига на Папs, има съответна окръжност със същия радиус.  Оста на симетрия между тези двойки е определена от центровете на началната тройка окръжности.

В зависимост от набора входни данни (координати за център и радиус на 3-те начални окръжности) първата построена окръжност е или над оста на симетрия или под нея.

Алгоритъмът на построителната задача верига на Пап съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на остроъгълен триъгълник;

изчисляват се координати за пета на височината CH;

изчислява се диаметър на най-голямата окръжност - разстоянието AB и координати за център, среда на същата отсечка;

аналогично се изчислява се диаметър на другите две окръжности AH > BH;

построяват се трите начални окръжности;

изчисляват се координати за център и радиус на първата окръжност от верига на Пап и се съхраняват техните стойности;

в цикъл се изчисляват координати за център и радиус на окръжности допиращи се вътрешно до окръжността с най-големия диаметър и външно до една от началните окръжности и до последната построена окръжност - броя на тези окръжности изпълнява условието: диаметъра на последната построена окръжност да е по-голям 1 pixel;

построява се окръжност симетрична на първата построена от веригата;

в цикъл се изчисляват координати за център и радиус на същия брой окръжности допиращи се вътрешно до окръжността с най-големия диаметър и външно до същата начална окръжност и до последната построена окръжност;

Задачата е свързана с друга, значително по-стара - арбелос и архимедови окръжности. Достатъчно е построяването на диаметър успореден на абсцисната ос. Чертежът илюстрира твърдението: в арбелос не могат да се построят две окръжности с равен радиус, допиращи се едновременно до първите три дъги.

Допълнителна задача е отхвърляне или доказване на твърдението: след построяване на третата окръжност от веригата центъра на всяка от следващите построени окръжности е инцидентен с обща окръжност.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: уплътнение на Аполоний, арбелос и архимедови окръжности, аполониеви задачи.