тригонометрични функции

Тригонометричните функции са функции на ъгли и отразяват отношението между дължини на страни в правоъгълен триъгълник.

Най-често срещаните дефиниции на тригонометрични функции са чрез:

1. Координати на точка от единична окръжност - окръжност с радиус 1. Ако в ортонормирана координатна система (координатните й оси са разграфени с равна дължина) е изчертана единична окръжност с център O, и е избрана точка P от нея, и означим чрез q ъгъла между отсечката OP и положителната посока на абсцисата Ox то:

синус от ъгъла Sin(q) е отношението между y-координатата на точката и отсечката OP;

косинус от ъгъла Cos(q) е отношението между x-координатата на точката и отсечката OP;

тангенс от ъгъла Tan(q); се представя чрез отношението Sin(q)/Cos(q)

котангенс от ъгъла Ctg(q); се представя чрез отношението Cos(q)/Sin(q)

2.Отношение на страни на правоъгълен триъгълник

Ако в ортонормирана координатна система е построен правоъгълен триъгълник, чийто връх на прави ъгъл е в началото O на координатната система, двата катета (с дължина съответно) a и b, лежат  на координатните оси, хипотенузата е означена с буква c, то

функцията синус дава отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:  Sin(a) = a/c.

функцията косинус дава отношението на прилежащия катет към хипотенузата:  Cos(a) = b/c.

функцията тангенс дава отношението на срещулежащия катет към прилежащия: Tan(a) = a/b.

функцията котангенс дава отношението на прилежащия катет към срещулежащия: Ctg(a) = b/a.

Да се реализира проект на тема: тригонометрични функции - представяне.

Чрез примерния проект се избира една от тригонометричните функции; синус, косинус, тангенс, котангенс и се изчислява стойността им за ъгъл в интервала 0º – 360º през определена стъпка. При посочване от списъчно поле на конкретен ъгъл се посочва стойността на функцията в избраната точка от графиката.

Казваме, че една функция е четна, ако стойността ѝ е равна при равна абсолютна стойност на нейния аргумент. Така четна функция е функцията косинус: Cos(-x) = Cos(x). Нечетни функции са: Sin(-x) = - Sin(x); Cos(-x) = - Cos(x); Tan(-x) = - Tan(x), Ctg(-x) = - Ctg(x)

3. Свойства на тригонометричните функции

само за правоъгълен триъгълник:

a = c*Sin(α)

b = c*Cos(α)

(c*Sin(α))² + (c*Cos(α))² = c²

Sin²(α)  + Cos²(α) = 1 тъждество на Питагор

Sin(-α) = - Sin(α)

Cos(-α) = Cos(α)

Tg(-α) = - Tg(α)

Ctg(-α) = - Ctg(α)

за a < π/2

Sin(π/2-α) = Cos(α)

Cos(π/2-α) = Sin(α)

Tg(π/2-α) = Ctg(α)

Ctg(π/2-α) = Tg(α)

Sin(α + β) = Sin(α) * Cos(β) + Cos(α) * Sin(β)

Sin(α - β) = Sin(α) * Cos(β) - Cos(α) * Sin(β)

Cos(α + β) = Cos(α) * Cos(β) - Sin(α) * Sin(β)

Cos(α - β) = Cos(α) * Cos(β) + Sin(α) * Sin(β)

Tan(α + β) = (Tan(α) + Tan(β)) / (1 - Tan(α) * Tan(β))

Tan(α - β) = (Tan(α) - Tan(β)) / (1 + Tan(α) * Tan(β))

Cotg(α + β) = (Cotg(α) * Cotg(β) -1) / (Cotg(β) + Cotg(α))

Cotg(α - β) = (Cotg(α) * Cotg(β) +1) / (Cotg(β) - Cotg(α))

Sin(2*α) = 2*Sin(α)*Cos(α)

Sin²(α/2) + Sin²(β/2) + Sin²(γ/2) + 2*Sin(α/2) *Sin(β/2)*Sin(γ/2) = 1

Sin(2α) + Sin(2β) + Sin(2γ) = 4*Sin(α) *Sin(β)*Sin(γ)

Cos(2*α) = Cos²(α) - Sin²(α) =  2*Cos²(α) - 1 = 1 - Sin²(α)

Tan(2*α) = 2*Tan(α) / (1 - Tan²(α))

Cotg(2*α) = (Cotg²(α) - 1) / (2* Cotg(α))

Sin²(α) = (1 - Cos(2*α)) / 2

Cos²(α) = (1 + Cos(2*α)) / 2

Cos²(α) + Cos²(β) + Cos²(γ) + 2*Cos(α) *Cos(β)*Cos(γ) = 1

Tan(α + β) = (Tan(α) + Tan(β)) / (1 - Tan(α)*Tan(β) )

Tan(α - β) = (Tan(α) - Tan(β)) / (1 + Tan(α)*Tan(β) )

Tan(2α) = 2*Tan(α) / (1 - Tan²(α))

Tan(α) + Tan(β) + Tan(γ) = Tan(α)*Tan(β)*Tan(γ)

Tan(α/2)*Tan(β/2) + Tan(β/2)*Tan(γ/2) + Tan(α/2)*Tan(γ/2) = 1

Tan(0.5*(α + β) = (Sin(α) + Sin(β))/(Cos(α) + Cos(β))

Tan(0.5*(α - β))/ Tan(0.5*(α + β)) = (Sin(α) - Sin(β))/ (Sin(α) + Sin(β)) - следствие от тангенсова теорема

Cotg(α + β) = (Cotg(α) * Cotg(β) -1) / (Cotg(α) + Cotg(β))

Cotg(α - β) = (Cotg(α) * Cotg(β) +1) / (Cotg(α) - Cotg(β))

Cotg(2α) = (Cotg²(α) - 1) / (2*Cotg(α))

Sin(α) + Sin(β) = 2*Sin( (α + β) / 2)*Cos( (α - β)/2)

Sin(α) - Sin(β) = 2*Sin( (α - β) / 2)*Cos( (α + β)/2)

Cos(α) + Cos(β) = 2*Cos( (α + β) / 2)*Cos( (α - β)/2)

Cos(α) - Cos(β) = -2* Sin( (α + β) / 2)*Sin( (α - β)/2)

Sin(α)*Sin(β) = (Cos(α - β) - Cos(α + β))/2

Cos(α)*Cos(β) = (Cos(α - β) + Cos(α + β))/2

Sin(α)*Cos(β) = (Sin(α + β) + Sin(α - β))/2

1/Cos²(α) = 1 + Tg²(α)

4*Sin(α)*Sin(β)*Sin(γ) = Sin(2*α) + Sin(2*β) + Sin(2*γ)

Горните формули се яввяват краен резултат от тригонометрични задачи и са приложими при ръчно изчисляване. При машинно изчисляване стойност на определено множество тригонометрични функции се използват редове на Тейлър, което е свързано с алгоритми имащи висока степен на сложност. Използването на съответната библиотечна функция (реализиращи съответните алгоритми) е силно препоръчително.

sin(x) = x + ((-1^1)*x^3)/(3!) + ((-1^2)*x^5)/(5!) + ((-1^3)*x^7)/(7!) + ((-1^4)*x^9)/(9!) +....

общ член: (-1^n)*(x^(2*n+1))/((2*n+1)!)

cos(x) = 1 + (-1^1)*(x^2)/(2!) + (-1^2)*(x^4)/(4!) + (-1^3)*(x^6)/(6!) + (-1^4)*(x^8)/(8!) +....

общ член: (-1^n)*(x^(2*n))/((2*n)!)

tan(x) = x + (x^3)/3 + 2*(x^5)/15 + 17*(x^7)/315 + 62*(x^9)/2835 + ....

общ член: ((-1^(n-1))*(2^(2*n))*( (2^(2*n)) - 1) * B(2*n)* (x^(2*n - 1)), където B(n) са числа на Бернули

обратни тригонометрични функции: 

arcsin(sin(x)) = x 

arccos(cos(x)) = x 

arctan(tan(x)) = x 

"реципрочни" тригонометрични функции: 

csc(x) = cosec(x) = 1/sin(x)

sec(x) = 1/cos(x)

ctg(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x)

За произволен триъгълник с дължини на страните a, b, c:

S - лице на триъгълника, p - полупериметър на триъгълника p = (a+b+c)/2 

S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

R радиус на описана окръжност около триъгълник;

R =a*b*c/(4*S)

r радиус на вписана окръжност в триъгълник;

r = √((p-a)*(p-b)*(p-c)/p);

От косинусова теорема  a² = b² + c² - 2*b*c*Cos(α)

α = ArcCos((b² + c² - a² )/(2*b*c))

От синусова теорема  a = 2*R*Sin(α)

α = ArcSin(2*R/a)

Формули за изчисляване на по-рядко срещани тригонометрични функции:

Secant

CoSecant 

Cotangent

Inverse Sine

Inverse CoSine

Inverse Secant

Inverse CoSecant

Inverse Cotangent

Hyperbolic Sine

Hyperbolic CoSine

Hyperbolic Tangent

Hyperbolic Secant

Hyperbolic CoSecant

Hyperbolic Cotangent

Inverse hyperbolic Sine

Inverse hyperbolic CoSine

Inverse hyperbolic Tangent

Inverse hyperbolic Secant

Inverse hyperbolic CoSecant

Inverse hyperbolic Cotangent

където:

π ≈  3.141593

SGN знак

Log десетичен логаритъм

Sqr корен квадратен

реципрочни функции: секант, косекант, котангенс

Secant (α) = хипотенуза / срещулежащ катет;

CoSecant (α) = хипотенуза / прилежащ катет;

В страницата вписани окръжности в триъгълник са представени решени задачи за триъгълник прилагащи тригонометрични функции при изчисляване дължина на радиус. Две от основните теореми в геометрията синусова теорема и косинусова теорема са по имена на използвана тригонометрична функция.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Питагор, синусова теорема, косинусова теорема, вписани окръжности в триъгълник.