пирамида

Под пирамида най-често се подразбира правилна четириъгълна пирамида.

В разгледаните изчислителни задачи са използвани следните означения:

a - основен ръб отсечките AB=BC=CD=AD;

b - околен ръб отсечките AE=BE=CE=DE;

h - апотема, височина на страна EM = EN за BN=CN;

α - ъгъл между основен и околен ръб на пирамида;

R - радиус на описана окръжност около страна на пирамида;

H - височина на пирамида - отсечката OH;

B - лице на основата B = a²;

So - околна повърхнина So = 2*a*h;

Sp - пълна повърхнина Sp = So + B = 2*a*h + a² = 2*a*(h + a);

V - обем на пирамидата V = B*H/3;

Правилната 4-ъгълна пирамида е обемно тяло и има възможност за разглеждане на нейни сечения като равнобедрен триъгълник. Такива са:

а) равнобедрения триъгълник със страна на пирамидата;

б) равнобедрен триъгълник със страни две срещулежащи апотеми и бимедиана в основата;

в) равнобедрен триъгълник със страни два срещулежащи околни ръба и диагонал на основата;

Изчисляване елементите на произволен триъгълник от изброените дава отговор за стойности на елементите от пирамидата в останалите два триъгълника:

изчислени са дължините на страните в триъгълника страна от пирамидата: следователно може да се изчисли лице на основата, околна повърхност и обем на пирамидата нейната височина е височина в равнобедрен триъгълник с бедра две апотеми;

изчислени са страните на равнобедрен триъгълник с бедра две апотеми и основа основния ръб на пирамидата - височината в триъгълника към основата му е и височина на пирамидата, околния ръб на пирамидата се изчислява по формула на Питагор в правоъгълен триъгълник с катети апотема на пирамидата, половината от основния ръб и хипотенуза околния ръб на пирамидата;

изчислени са страните на равнобедрен триъгълник с бедра два околни ръба и основа диагонала на основата - така от диагонала има данни за дължина на основния ръб като дължина на катет в равнобедрен правоъгълен триъгълник; височината към основата на равнобедрения триъгълник, представящ диагоналното сечение, е и височина на пирамидата.

За изчисляване елементи на произволен триъгълник са необходими данни за 2 елемента, от които единият е линеен размер, а вторият: ъгъл, линеен размер, отношение между тях или комбинация от изброените. В равнобедрения триъгълник по дефиниция са дадени отношения (равенство на бедра, ъгли при основата...). Пирамидата е обемно тяло и има възможност за условия. които неявно дават информация за необходимите два размера. Пример:

По дадени периметър на основата и дължина на околния ръб - квадратът има точно 4 страни.

По дадени суми от дължина на основни и околни ръбове - не явно се дава дължина на основен и околен ръб.

По дадена сума от дължините на основните и околни ръбове, както и отношението основен ръб : околен.

По дадена височина на пирамидата и ъгъл между основата и околната страна - правоъгълен триъгълник с катет височината на пирамидата и срещулежащ остър ъгъл.

Под даден диагонал на основата и срещулежащия ъгъл между два околни ръба имащи общи точки със същия диагонал - равнобедрен триъгълник с дадена дължина на основата и срещулежащ ъгъл.

Текстът на основни задачи за изчисляване елементи (основен ръб, околен ръб, апотема, височина, лице на основата, околна повърхнина, обем на пирамида) на правилна пирамида би имал приблизително съдържание:

Изчислете елементите на пирамидата по дадени: дължина на основен ръб a и околен ръб b.

апотема на пирамида h = √(b² - a²/4); 

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b); 

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата R = b/(2*sin(α)); 

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

лице на основа B = a²; 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на пирамидата по дадени: дължина на основен ръб a и апотема на пирамида h.

околен ръб b = √(h² + a²/4);  

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b); 

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата R = b/(2*sin(α)); 

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

лице на основа B = a²; 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на пирамидата по дадени: дължина на основен ръб a и височина на пирамида H.

апотема на пирамида h = √(H² - a²/4); 

околен ръб b = √(h² + a²/4); 

ъгъл между основен и околен ръб α = arccos(0.5*a/b); 

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата R = b/(2*sin(α)); 

лице на основа B = a²; 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на пирамидата по дадени: a - дължина на основен ръб и α - ъгъл между основен и околен ръб.

апотема на пирамида h = 0.5*a*tan(α);

околен ръб b = 0.5*a/cos(α); 

радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата R = b/(2*sin(α)); 

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

лице на основа B = a²; 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Изчислете елементите на пирамидата по дадени: дължина на основен ръб a и радиус на описаната окръжност около стена на пирамидата R.

срещулежащ на основния ръб ъгъл γ = arcsin(0.5*a/R); 

ъгъл между основен и околен ръб α = 0.5*(π - γ); 

апотема на пирамида h = 0.5*a*tan(α); 

околен ръб b = 0.5*a/cos(α); 

височина на пирамида H = √(h² - a²/4); 

лице на основа B = a²; 

околна повърхнина So = 2*a*h; 

обем на пирамида V = B*H/3;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули  от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: обем на пирамида, равнобедрен триъгълник, правилна пирамида, описана пирамида.