формула за ъглополовяща

В задачата формула за ъглополовяща се представят и проверяват формули за дължина на отсечки, на които ъглополовящата (на вътрешен и външен ъгъл) на триъгълника дели срещулежащата страна, както и формули за изчисляване дължина на ъглополовяща.

От теорема за ъглополовяща: ъглополовящата CL на вътрешен ъгъл в триъгълника дели срещулежащата си страна в отношение равно на отношението между другите две страни

AL/BL = AC/BC;

От разгледаните задачи за външно и вътрешно делене на отсечка равенството може да се допълни:

AL/BL = AM/BM = AC/BC за AM = AL + BL + BM; AB = AL + BL;

В задачата за вътрешно делене на отсечка се ползват подобни триъгълници и се извежда:

AL = AC*AB/(AC+BC);

BL = BC*AB/(AC+BC);

В задачата за външно делене на отсечка се ползват подобни триъгълници и се извежда:

AM = AC*AB/(AC-BC);

BM = BC*AB/(AC-BC);

при изчисляване разстояние между пети на ъглополовящи за съседни ъгли (вътрешен и външен ъгъл на триъгълника) се извежда:

LM = BL + BM;

LM = 2*BC*AC*AB/((AC-BC)*(AC+BC));

LM² = CL² + CM² - от формула на Питагор в правоъгълен триъгълник с катети двете ъглополовящи CL и CM;

Формули за дължина на ъглополовяща от теореми:

CL² = AC*BC - AL*BL;

CL² = AC*BC - BC*AC*AB²/(BC + AC)²;

CL = 2*BC*AC*cos(C/2)/(AC+BC);

От теорема на Стюарт и косвено с косинусовата теорема, чрез известни дължини на страните може да се изведе формула за ъглополовяща:

CL² = -1*AL*BL + (AL*BC² + BL*AC² )/AB;

За изчисляване на дължина / отношение между отсечки в ъглополовяща (връх-пресечната точка-пета) могат да се ползват формули за чевиана и нейната пресечна точка представени в теоремите:

теорема на Чева (Ceva's theorem): ако през всеки от върховете на триъгълник ABC преминава права, пресичаща противоположната му страна (или тяхното продължение) съответно в точките D, E и F и ако трите прави имат обща пресечна точка, то е в сила равенството:

(AF/BF)*(BD/CD)*(CE/AE) = 1

С чевиана е свързана втората теорема на van Obel: ако в триъгълникът ABC е построена точка K и са построени отсечки свързващи точката K, връх на триъгълника и срещулежащата му страна AD, BE, CF, то е в сила равенството:

AK/KD = AF/FB + AE/EC

теорема на Gergonne: разглежда отношение между дължините на отсечки в чевиана

KD/AD + KE/BE + KF/CF = 1

AK/AD +BK/BE + CK/CF = 2

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: пета на ъглополовяща, пети на ъглополовящи и перпендикуляри, ъглополовяща в триъгълник, отношения в триъгълник.