лице и периметър на правоъгълен триъгълник

Основни задачи за изчисляване лице и периметър на правоъгълен триъгълник са:

За правоъгълен триъгълник АВС са въведени стойности за: дължина на катет BC = a и неговия срещулежащ ъгъл BAC = α. Да се изчислят периметър и лице на триъгълника.

дължина на катет AC: b = a/tan(α);

дължина на хипотенуза AB: c = a/sin(α);

периметър: P = a + b + c;

лице на правоъгълен триъгълник S = a*b/2;

За правоъгълен триъгълник АВС са въведени стойности за: дължина на катет BC = a и неговия прилежащ ъгъл ABC = β. Да се изчислят периметър и лице на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник АВС са въведени стойности за: дължина на катет AC = b и неговия прилежащ ъгъл BAC = α. Да се изчислят периметър и лице на триъгълника.

дължина на катет BC: a = b*tan(α);

дължина на хипотенуза AB: c = a/sin(α);

периметър: P = a + b + c;

лице на правоъгълен триъгълник S = a*b/2;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери на: дължина на медиана към хипотенуза AM = mc  и размер на сключения ъгъл между медианата и хипотенузата ∟AMC = φ. Да се изчислят страните на триъгълника.

дължина на хипотенуза АВ: c = 2*mc - от теорема на Талес;

CM = AM - следствие от същата теорема като радиуси на описаната окръжност;

∠AMC е ъгъл при върха на равнобедрен триъгълник АМС;

дължина на катет АС: b = √(mc² + mc² -2*mc²*cos(AMC)) - от косинусова теорема;

дължина на катет ВС: а =  √(c² - b²) от теорема на Питагор;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: Р периметър на триъгълника и дължина на хипотенузата  AB = c. Да се изчислят страните на триъгълника.

от равенството P = a + b + c следва: a + b = P - c;

(a + b)² = (P - c)²;

a² + 2*a*b + b² = P² - 2*P*c + c²

a*b = (P² - 2*P*c)/2

от a + b = P - c се извежда  a = P - c - b;

(P - c - b)*b =  (P² - 2*P*c)/2;

b² - b*(P -c) +  (P² - 2*P*c)/2 = 0

решава се квадратното уравнение с неизвестно b и се взема положителната стойност;

дължина на катет ВС: a = P - c - b;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени стойности за: Р периметър на триъгълника и дължина на катета BC = a. Да се изчислят страните на триъгълника.

от P = a + b + c следва (a + b) = (P - c);

(a + b)² = (P - c)²;

a² + 2*a*b + b² = P² -2*P*c + c²;

a*b = (P² - 2*P*c)/2;

b = (P² - 2*P*c)/(2*a);

от P = a + b + c  следва: b + c = P - a;

(P² - 2*P*c)/(2*a) + c = P - a;

2*a*c - 2*P*c + P² =  2*a*(P - a);

c*(2*P - 2*a) = P² -  2*a*(P - a);

дължина на хипотенуза АВ: c = (P² -  2*a*(P - a))/(2*P - 2*a);

дължина на катет АС: b = P - c - а;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: Р периметър на триъгълника и mc - дължина на медиана към хипотенузата AB. Да се изчислят страните на триъгълника.

от P = a + b + c се извежда a + b = P - c;

c = 2*mc от теорема на Талес;

a + b = P - c;

(a + b)² = (P - c)²;

a² + 2*a*b + b² = P² -2*P*c + c²;

a*b = (P² - 2*P*c)/2;

замества се: a = P - c - b;

(P - c - b)*b =  (P² - 2*P*c)/2;

b² - b*(P -c) +  (P² - 2*P*c)/2 = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно b и се взема положителната стойност за дължина на катет АС;

дължина на катет ВС: a = P - c - b;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: S - лице на триъгълника и с - дължина на хипотенузата АВ. Да се изчислят страните на триъгълника.

S = a*b/2;

от c² = a² + b² - теорема на Питагор

(a+b)² = a² + 2*a*b + b² = c² + 4*S;

a + b = √(c² + 4*S);

изчислява се f =  √(c² + 4*S);

замества се: a = f - b;

замества се в уравнението:  a*b = 2*S;

(f -b)*b = 2*S;

b² -2*f*b +2*S = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно b и се взема положителния корен за дължина на катет АС;

дължина на катет ВС: a = 2*S/b;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: S - лице на триъгълник и hc - дължина на височина СН към хипотенузата AB. Да се изчислят страните на триъгълника.

дължина на хипотенуза AB: c = 2*S/hc;

ползва се равенството от лице на правоъгълен триъгълник: c*hc = a*b;

c² = a² + b² - формула на Питагор;

(a + b)² = a² + 2*a*b + b² = c² + 2*c*hc;

изчислява се стойност на сумата: a + b = √(c² + 2*c*hc);

съставя се системата уравнения:

 a + b = √(c² + 2*c*hc);

a*b = c*hc;

полага се: a = c*hc/b;

c*hc/b + b = √(c² + 2*c*hc);

решава се квадратното уравнение с неизвестно b за дължина на катет АС;

дължина на катет ВС: a =  c*hc/b;

За правоъгълен триъгълник ABC са дадени размери за: S - лице на триъгълник  и mc - дължина на медиана към хипотенузата AB. Да се изчислят страните на триъгълника.

дължина на хипотенуза АВ: c = 2*mc - от теорема на Талес за правоъгълен триъгълник;

S = a*b/2;

от c² = a² + b² - теорема на Питагор;

(a+b)² = a² + 2*a*b + b² = c² + 4*S;

a + b = √(c² + 4*S);

изчислява се f =  √(c² + 4*S);

a = f - b;

замества се в уравнението   a*b = 2*S;

(f -b)*b = 2*S;

b² -2*f*b +2*S = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно b и се взема положителния корен за дължина на катет АС;

дължина на катет ВС: a = f - b;

За правоъгълен триъгълник АВС са въведени стойности за: лице Sabc, Р - периметър на триъгълника. Да се изчислят страните на триъгълника.

P = a + b + c;

S = a*b/2 - свойство на правоъгълен триъгълник;

(P - c)² = (a + b)²;

P² - 2*P*c + c² = a² + 2*a*b + b²;

от c² = a² + b² - теорема на Питагор;

P² - 2*P*c = 2*a*b;

P² - 2*P*c = 4*S;

дължина на хипотенуза АВ: c = (P² - 4*S)/(2*P);

S = a*b/2;

от c² = a² + b² - теорема на Питагор

(a+b)² = a² + 2*a*b + b² = c² + 4*S;

a + b = √(c² + 4*S);

изчислява се f =  √(c² + 4*S);

a = f - b;

замества се в уравнението:  a*b = 2*S;

(f -b)*b = 2*S;

b² - 2*f*b +2*S = 0;

решава се квадратното уравнение с неизвестно b и се взема положителния корен;

дължина на катет ВС: a  = f - b;

За правоъгълен триъгълник АВС са въведени стойности за: Р - периметър на триъгълника и остър ъгъл BAC= α. Да се изчислят лице на триъгълника.

P = a + b + c = c*sin(α) + c*cos(α) + c = c*(sin(α) + cos(α) + 1);

c = P/(sin(α) + cos(α) + 1)

дължина на катет BC: a = c*sin(α);

дължина на катет AC: b = c*cos(α);

лице на правоъгълен триъгълник S = a*b/2;

За правоъгълен триъгълник АВС са въведени стойности за: Р - периметър на триъгълника и остър ъгъл ABC = β. Да се изчислят дължините на страните и лице на триъгълника.

За правоъгълен триъгълник АВС са въведени стойности за: лице Sabc и остър ъгъл BAV = α. Да се изчислят страните на триъгълника и неговия периметър.

от отношение между катетите в правоъгълен триъгълник a/b = tan(α) се представя лице на триъгълника: S = a*b/2 = a*a/(2*tan(α));

дължина на катет BC: a = √(S*2*tan(α)); 

дължина на катет AC: b = 2*S/a;

дължина на хипотенуза AB: c = √(a² + b²);

периметър: P = a + b + c;

За правоъгълен триъгълник АВС са въведени стойности за: лице Sabc и отношението между острите ъгли α/β = m/n. Да се изчислят периметър и лице на триъгълника.

Да се реализира проект, представящ калкулатор за изчисляване лице и периметър на правоъгълен триъгълник.

По комбинация от два параметъра на правоъгълен триъгълник: дължини на  катети; проекции на катети; катет и хипотенуза; височина към хипотенузата и катет; медиана към хипотенузата и катет; проекция на катет и хипотенуза да се изчисляват останалите.

В реализирания проект използваните означения са:

AB - хипотенуза

AC - катет

BC - катет

CH - височина към хипотенуза

CM - медиана към хипотенуза

AH - проекция на катета AC върху хипотенузата

BH - проекция на катета BC върху хипотенузата

Дължина на хипотенуза по два катета: AB² = AC² + BC²;

Дължина на хипотенуза по двете проекции AB = AH + BH

Дължина на хипотенуза по медиана AB = 2*CM. В случая медианата CM е и радиус на описаната окръжност.

Височина към хипотенуза по въведени страни CH = AC*BC / AB 

Височина към хипотенуза по въведени проекции на катетите CH² = AH*BH. 

Това е следствие от подобни правоъгълни триъгълници:  AC/BC = CH/BH = AH/CH

Дължина на катет по въведени страни: AC² = AB² - BC², както и BC² = AB² - AC²;

Дължина на катет по въведени височина CH и проекция на катета: AC² = CH² - AH², както и BC² = CH² - BH²;

Дължина на катет по въведени хипотенуза AB и проекция на катета: AC² = AB * AH, както и BC² = AB*BH;

Лице на правоъгълен триъгълник S = AB*CH / 2 = AC*BC / 2;

Разгледайте други реализирани примерни проекти, за които е ползвана подобна логическа структура на графичните обекти и/или приложени сходни алгоритми: вписана окръжност в правоъгълен триъгълник, правоъгълен триъгълник, височина.