успоредник

Успоредник е изпъкнал четириъгълник с две двойки успоредни и равни страни.

Свойства:

В успоредник двете двойки срещулежащи страни са равни.

В успоредник двете двойки срещулежащи ъгли са равни.

Сумата на прилежащите ъгли, към една и съща страна, е 180⁰.

Сумата на ъгъла, сключен от двойката височини с общ връх и срещулежащия ъгъл на успоредника е 180⁰. Ако от върха на тъпия ъгъл се построят двете височини, то ъгълът между височините е равен на острия ъгъл в успоредника.

Център на симетрия за успоредник е пресечната точка на неговите диагонали.

Двата диагонали взаимно се разполовяват от пресечната си точка.

В успоредник пресечната точка на двете бимедиани ги разполовява - бимедиана е отсечка, свързваща средите на двойка срещулежащи страни.

В успоредник двойките бимедиани и диагонали имат обща пресечна точка - бимедианите и диагоналите в успоредник са конкурентни прави.

Всеки диагонал разделя успоредника на два еднакви триъгълника.

По дефиниция и свойства успоредникът се доближава до равнобедрен трапец - имащ двойка успоредни страни и двойка равни по дължина страни. В делтпоид има две двойки равни страни, но няма успоредни.

Вид успоредници са и: квадрат, ромб и правоъгълник.

Вписан четириъгълник с два прави ъгъла се получава от два срещулежащи върха на успоредник и петите на височините спуснати от същите върхове - това е и резултат от задачата за ъгъла между двойка височини от един и същи връх.

Средите на страните (пети на медианите) на произволен четириъгълник са върхове на успоредник - теорема на Вариньон. Следствие от теоремата - произволна точка принадлежаща на успоредник има константна сума от разстоянията до всяка от страните на същия успоредник - успоредник и точка.

Симетралите за всяка от страните нямат обща пресечна точка - около успоредник не може да се опише окръжност.

Ъглополовящите на вътрешните ъгли нямат обща пресечна точка - в успоредник не може да се впише окръжност. Една от основните задачи е извеждане доказателство, че пресечните точки на вътрешните ъглополовящи са върхове на правоъгълник (ъглополовяща в правоъгълник) - основава се на свойство на успоредник, че сумата от два съседни ъгъла е 180⁰. Вътрешните ъглополовящи в успоредник са взаимно перпендикулярни, по аналогия с ъглополовящите на външните ъгли за една и съща страна в триъгълник.

Отсечката от ъглополовяща, на вътрешен ъгъл в успоредника, свързваща върха на ъгъла и пресечната точка от срещулежащата страна, е основа на равнобедрен триъгълник - от свойство на права пресичаща двойка успоредни прави.

От теорема на ван Обел за четириъгълник (van Obel theorem, van Aubel theorem): ако на всяка от страните на произволен не самопресичащ се четириъгълник са построени квадрати, то отсечките, свързващи центровете на срещулежащите квадрати, са равни по дължина и са взаимно перпендикулярни;

Паралелограм е вече по-рядко срещано наименование за успоредник.

Използвани означения:

ъгли: α < β;

височини: ha < hb;

диагонали: e < f;

страни: a > b;

Формули в успоредник:

височина: ha = b*sin(α) = b*sin(β);

височина: hb = a*sin(α) = a*sin(β);

Горните формули могат да се изведат чрез теорема на Питагор и следствие на:

sin(180⁰ - γ) = sin(180⁰)*cos(γ) - cos(180⁰)*sin(γ) = (0)*cos(γ) - (-1)*sin(γ) = sin(γ)

За диагоналите по косинусовата теорема:

f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α) - по-дългия диагонал свързва срещулежащите върхове на двойката остри ъгли;

e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α) - по-късия диагонал свързва срещулежащите върхове на двойката тъпи ъгли;

e² + f² = 2*(a² + b²);

периметър на успоредник: P = 2*(a+b);

лице на успоредник: S = a*ha = b*hb = a*b*sin(α) = a*b*sin(β) = e*f*sin(φ)/2, където φ е сключения ъгъл между диагоналите;

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: диагонали в успоредник, периметър на успоредник, лице на успоредник.