хорда и медиани

В задачата хорда и медиани се разглежда описан триъгълник ABC и хорда (MN ||AB) успоредна на страна на триъгълника и инцидентна с неговия медицентър. По дадени дължина на AB и отсечките DF и GE, които страните на триъгълника отсичат от хордите да се изчислят елементите на триъгълника.

В алгоритъма за решаване на задачата се ползват:

медицентърът в триъгълник дели всяка медиана в отношение 2:1 считано от върха;

права успоредна на страна на триъгълник отсича от него подобен триъгълник с коефициент на подобие равен на отношението на две съответни страни, съответни медиани, съответни височини....;

свойство на пресичащи се хорди от една и съща окръжност.

CM/MMc = 2/1 - медицентърът дели медиана в отношение 2:1 считано от върха

CMc/CM = 3/2

от свойство на средна отсечка ΔABC ~ ΔFGC (AB||FG);

AC/FC = BC/CG = AB/FG = CMc/CM = 3/2

FG = 2*AB/3;

изчислява се дължина на хордата DE и нейните отделни части

DE = DF + FG + EG

DG = DF + FG

EF = FG + GE

От свойство на пресичащи се хорди

DF*EF = AF*CF (от пропорцията CF/AF = 2/1 следва CF = 2*AF)

от равенството 2*AF² = DF*EF се изчислява

дължина на страна: AC = 3*AF = 3*√(DF*EF/2)

От свойство на пресичащи се хорди:

DG*EG = BG*CG (от пропорцията CG/BG = 2/1 следва CG = 2*BG):

от равенството 2*BG² = EG*DG се изчислява

дължина на страна: BC = 3*BG = 3*√(EG*DG/2);

периметър на триъгълник: P = AB + AC + BC;

за изчисляване лице на триъгълник по дължини на 3 страни се ползва формула на Херон, полупериметър p = P/2;

лице на триъгълник: S = √(p*(p - AB)*(p - BC)*(p - AC));

Задачата хорда и медиани е частен случай на алгоритъма представен в лема на Haruki.

Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: радиус и допирателна, сума от радиуси, суми от радиуси.