В разгледаните параметрично решени примери и задачи на тема периметър на успоредник по въведени стойности на три елемента се изчислява лице, периметър, височини, диагонали и ъгли.
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени дължини на двете височини ha,hb и α - острия ъгъл.
ъгъл: β = π - α;
страна: a = hb/sin(α)
страна: b = ha/sin(β);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
В следващите редове е дадена задача с приблизителния текст: за успоредник са дадени дължини на двете височини и сключения между тях ъгъл. Да се изчисли .... всичко останало - лице, периметър...
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени ha,hb - дължини на височини и β - ъгъл в успоредника.
страна: b = S/hb;
страна: a = S/ha;
ъгъл: α = π - β;
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Задача със същия алгоритъм на решение има приблизителния текст: за успоредник са дадени дължини на двете височини и сключения между тях ъгъл γ. Да се изчисли .... всичко останало - лице, периметър.... Ако се разгледа вписаният четириъгълник с върхове: два върха на референтния успоредник и петите на височините се установява, че два от ъглите са прави, а единият от ъглите е и ъгъл на референтния успоредник. Сумата на ъглите γ + β = π
Да се изчисли P - периметър и S - лице на успоредник по въведени ha - височина и e,f - дължини на диагонали в разглеждания успоредник.
Диагоналът BD се проектира в т.C. Разглежда се триъгълник AMC със страни AC = f, MC = e и AM с неизвестна дължина AM= 2*а. От връх C се построява височина в новия триъгълник с дължина ha. Триъгълникът AMC се разглежда като съставен от два правоъгълни триъгълника съответно с дължина на хипотенузи e,f и общ катет с дължина ha. Чрез теорема на Питагор последователно се изчислява дължината на втория катет m ,n за всеки от триъгълниците. Така дължина на страната в успоредника: a = (m+n)/2.
Същият алгоритъм се повтаря и за триъгълника ABD, изчислява се дължина на част от страна AB (отсечка с дължина k) в правоъгълния триъгълник с хипотенуза e и катет ha. Отново чрез теорема на Питагор се изчислява дължина на хипотенуза AD - страна от успоредника b чрез катетите с дължина ha и (a-k).
Изчислява се ъгъл: α = arcsin(ha/b);
ъгъл: β = π - α;
височина: hb = a*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
лице на успоредник: S = a*ha.
Да се изчислят диагоналите и ъглите в успоредник по въведени P - периметър, S - лице на успоредник и ha - дължина на височина.
страна: a = S/ha;
страна: b = (P/2) - a;
височина: hb = S/b;
от уравнението S = a*b*sin(α) се изчислява ъгъл: α = arcsin(S/(a*b);
ъгъл: β = π - α;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Да се изчислят диагоналите и ъглите в успоредник по въведени S - лице на успоредник, ha - дължина на височина и α - остър ъгъл в разглеждания успоредник.
ъгъл: β = π - α;
страна: b = ha/sin(α);
страна: a = S/(b*sin(α));
височина: hb = a*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Да се изчислят диагоналите и ъглите в успоредник по въведени S - лице на успоредник, ha - дължина на височина и β - ъгъл в разглеждания успоредник.
ъгъл: α = π - β;
страна: b = ha/sin(α);
страна: a = S/(b*sin(α));
височина: hb = a*sin(α);
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Да се изчислят диагоналите и ъглите в успоредник по въведени S - лице на успоредник, ha - дължина на височина и α - остър ъгъл.
ъгъл: β = π - α;
страна: a = S/ha;
страна: b = S/(a*sin(α));
височина: hb = S/b;
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Да се изчислят диагоналите и ъглите в успоредник по въведени S - лице на успоредник, hb - дължина на височина и β - ъгъл.
ъгъл: α = π - β;
страна: b = S/hb;
страна: a = S/(b*sin(α));
височина: ha = S/a;
периметър на успоредник: P = 2*(a+b);
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: e = √(a² + b² - 2*a*b*cos(α));
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Да се изчислят диагоналите и ъглите в успоредник по въведени P - периметър на успоредник, e - дължина на диагонал и α - остър ъгъл.
от уравненията e² = a² + b² - 2*a*b*cos(α) и a = P/2 - b следва:
(P/2 - b)² + b² - 2*(P/2 - b)*b*cos(α) - e² = 0;
0.25*P² - P*b + b² + b² - (P - 2*b)*b*cos(α) - e² = 0;
0.25*P² - P*b + 2*b² - P*b*cos(α) + 2*b²*cos(α) - e² = 0;
2*b² + 2*b²*cos(α) - P*b - P*b*cos(α) + 0.25*P² - e² = 0;
(2+2*cos(α))*b² - (1+cos(α))*P*b + 0.25*P² - e² = 0;
решава се квадратното уравнение и се взема положителния корен за страна b;
страна: a = P/2 - b;
ъгъл: β = π - α;
лице на успоредник: S = a*b*sin(α);
височина: ha = S/a;
височина: hb = S/b;
чрез косинусова теорема се изчислява диагонал: f = √(a² + b² + 2*a*b*cos(α)).
Разгледайте други основни типове примери и задачи, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: успоредник, диагонали в успоредник, лице на успоредник.